（通用版）2017届高三数学二轮复习第一部分重点保分题题型专题（十二）三角恒等变换与解三角形教师用书理

(2)若△ABC的面积S＝

32

c，求sin C的值． 4

?π?解：(1)∵asin B＝－bsin?A＋?，

3???π?∴由正弦定理得sin A＝－sin?A＋?，

3??

133

即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，

2235π

∵A∈(0，π)，∴A＝.

65π1

(2)∵A＝，∴sin A＝，

62由S＝

2

3211

c＝bcsin A＝bc，得b＝3c， 424

2

2

2

∴a＝b＋c－2bccos A＝7c，则a＝7c， 由正弦定理得sin C＝

csin A7

＝. a14

[师说考点]

解三角形实际问题的常考类型及解题思路

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

[典例] (2016·河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．

(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求P到海防警戒线AC的距离．

[解] (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.

PA2＋AB2－PB2x2＋202－（x－12）23x＋32

在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，

2PA·AB2x·205x同理，在△PAC中，AC＝50，

PA2＋AC2－PC2x2＋502－x225

cos∠PAC＝＝＝. 2PA·AC2x·50x∵cos∠PAB＝cos∠PAC，

5

∴

3x＋3225

＝， 5xx解得x＝31.

(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中， 25由cos∠PAD＝，

31

4212

得sin∠PAD＝1－cos∠PAD＝，

31421

∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝421.

31

故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421千米． [类题通法]

解三角形中实际问题的4个步骤

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；

(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．

[演练冲关]

1．(2016·武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )

A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h

解析：选B 记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在△OAB中，OA＝400，

AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×

222

≤300，即t－2

202t＋175≤0，解得102－5≤t≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.

2.(2016·湖北七市联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.

6

解析：分析题意可知，设CD＝h，则AD＝

2

2

2

h3

，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°

2

2

－40°＝120°，∴由余弦定理AB＝BD＋AD－2BD·AD·cos 120°，可得130＝3h＋－2·3

3

h2

h·

h?1?·?－?，解得h＝1039，故塔的高度为1039 m. 3?2?

答案：1039

解三角形与其他知识的交汇

解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式求最值、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．

[典例] (2016·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan Atan Atan B＋tan B)＝＋. cos Bcos A(1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． [解] (1)证明：由题意知 2?

?sin A＋sin B?＝sin A＋sin B，

?

?cos Acos B?cos Acos Bcos Acos B化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B， 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.

因为A＋B＋C＝π，所以sin A＋sin B＝2sin C， 由正弦定理得a＋b＝2c. (2)由(1)知c＝

a＋b2

，

a2＋b2－c2

所以cos C＝＝2ab3?ab?11＝·?＋?－≥， 8?ba?42

?a＋b?a＋b－???2?

2

2

2

2ab当且仅当a＝b时，等号成立， 1

故cos C的最小值为. 2[类题通法]

(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题．

(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解．

[演练冲关]

7

1．在△ABC中，△ABC的形状为( )

A．等边三角形 B．钝角三角形

，若sin C·＋sin A·＋sin B·＝0，则

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

解析：选A 设角A，B，C的对边分别是a，b，c，由的中点．结合题意及正弦定理可得c＋a＋b＝0，故c(

，可知P为BC－)＋a－b＝(a－c) A.

＋(c－b) ＝0，而与为不共线向量，所以a－c＝c－b＝0，故a＝b＝c.故选

2．(2016·河北五校联考)已知锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋b＝6abcos C，且sinC＝2sin Asin B.

(1)求角C的值； (2)设函数f(x)＝为π，求f(A)的取值范围．

解：(1)因为a＋b＝6abcos C，由余弦定理知a＋b＝c＋2 abcos C，

2

2

2

2

2

2

2 2

－cos ωx(ω>0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离

c222

所以cos C＝，又sinC＝2sin Asin B，则由正弦定理得c＝2ab，

4abc22ab1

所以cos C＝＝＝，

4ab4ab2

π

又因为C∈(0，π)，所以C＝.

3(2)f(x)＝

－cos ωx＝

33

sin ωx－cos ωx＝22

，

2π

由已知可得＝π，所以ω＝2，

ω则f(A)＝

，

π2πππππ

因为C＝，所以B＝－A，因为0

332262π2π

所以0<2A－<，所以f(A)的取值范围是(0，3 ]．

33

一、选择题

4

1．(2016·武昌区调研)已知cos(π－α)＝，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于

5( )

332424A. B．－ C. D．－ 4477

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