（通用版）2017届高三数学二轮复习第一部分重点保分题题型专题（十二）三角恒等变换与解三角形教师用书理

题型专题(十二) 三角恒等变换与解三角形

[师说考点]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β(3)tan(α±β)＝.

1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα. 2tan α(3)tan 2α＝. 21－tanαπ?π3?[典例] (1)(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan?θ－?4?45?＝________．

π?3?[解析] 由题意知sin?θ＋?＝，θ是第四象限角，

4?5?π??所以cos?θ＋?＞0，

4??π??所以cos?θ＋?＝ 4??

π?42?1－sin?θ＋?＝.

4?5?

2

2

2

2

π?ππ???tan?θ－?＝tan?θ＋－?

4?42???π???π?sin?－?θ＋??4???2?

＝－

π??π??cos?－?θ＋??4???2?π??cos?θ＋?4??

＝－

π??sin?θ＋?4??454

＝－×＝－.

5334[答案] － 3

1

π?7π?43??(2)(2016·河南六市联考)已知cos?α－?＋sin α＝，则sin?α＋?的值是6?6?5??________．

π?4331433?[解析] 由cos?α－?＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin 6?52252?

α＋343

cos α＝， 25

π?43π?4??∴3sin?α＋?＝，sin?α＋?＝，

6?6?55??7π?π?4??∴sin?α＋?＝－sin?α＋?＝－. 6?6?5??4

[答案] － 5[类题通法]

三角恒等变换的“4大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sinθ＋cosθ＝tan 45°等；

(2)项的分拆与角的配凑：如sinα＋2cosα＝(sinα＋cosα)＋cosα，α＝(α－β)＋β等；

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．

[演练冲关]

π?5?π??1．(2016·贵阳模拟)已知α∈?，π?，sin α＝，则tan?α＋?＝( ) 4?13?2??717717

A．－ B. C. D．－ 177177

π?5?π?所以cos α＝－12，?解析：选C 因为α∈?，π?，所以tan α＝－，所以tan?α＋?4?1312?2??π5

tan α＋tan－＋1

4127

＝＝＝. π517

1－tan αtan1＋

412

2

2

2

2

2

2

2

?π??π?2．(2016·东北四市联考)已知sin?－α?＝cos?＋α?，则cos 2α＝( )

?6??6?

1

A．1 B．－1 C. D．0

2

2

?π??π?∴1cos α－3sin α＝3cos α－1sin α，

解析：选D ∵sin?－α?＝cos?＋α?，

2222?6??6?

13sin α3??122

即?－?sin α＝－(－)cos α，∴tan α＝＝－1，∴cos 2α＝cosα－sinα22cos α?22?

cosα－sinα1－tanα＝＝2＝0. 22

sinα＋cosαtanα＋1

[师说考点]

1．正弦定理及其变形

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．

sin Asin Bsin C变形：a＝2Rsin A，sin A＝2．余弦定理及其变形

在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A.

2

2

2

2

2

2

abca，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2Rb2＋c2－a2

变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝. 2bc2

2

2

3．三角形面积公式

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

4

[典例] (1)(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，

55

cos C＝，a＝1，则b＝________.

13

45

[解析] 因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，

513312

所以sin A＝，sin C＝，

513

3541263

所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

51351365又a＝1，所以由正弦定理得b＝[答案]

21 13

121212

asin B63521

＝×＝. sin A65313

(2)(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.

①求C；

33

②若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

2[解] ①由已知及正弦定理得

3

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 1π

可得cos C＝，所以C＝.

23133

②由已知得absin C＝. 22π

又C＝，所以ab＝6.

3

由已知及余弦定理得a＋b－2abcos C＝7， 故a＋b＝13，从而(a＋b)＝25. 所以△ABC的周长为5＋7. [类题通法]

正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．

[演练冲关]

1．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则cos B＝( )

1133A．－ B. C．－ D. 2222解析：选B 由正弦定理知π1

＝cos＝，故选B.

32

π33

2．(2016·福建质检)在△ABC中，B＝，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为，则

34

sin Bsin Aπ＝＝1，即tan B＝3，所以B＝，所以cos B33cos Bsin A，3cos Bsin A2

2

2

2

2

b＝aAC等于( )

A．2 B.7 C.10 D.19

11π33

解析：选B 因为S△BCD＝BD·BCsin B＝×1×BCsin＝，所以BC＝3.由余弦定理得

2234

AC2＝4＋9－2×2×3cos＝7，所以AC＝7，故选B.

3．(2016·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝

π3

?π?－bsin?A＋?.

3??

(1)求A；

4