2007-2008学年第一学期《随机数学(A)》期末考试试卷_A_答案

北 京 交 通 大 学

2007-2008学年第一学期《随机数学（A）》期末考试试卷(A)答案

学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________

题号 得分 阅卷人

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设A、B是二个随机事件，P?B??0.6，PAB?0.3，则PA?B? __0.7_____．

2．设随机变量X的分布函数为

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 总分 ?????0,x?0?F（x)??x2,0?x?1

?1,x?1??0,x?0?则X的概率密度为： ___F(x)??2x,0?x?1_____．

?0,x?1?

3．设EX?1,DX?2,EY?1,DY?1,?XY?0.6， 则E(2X?Y?1)2= ___13-

4．设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

122____． 5f?x,则k?__8______．

?kxy0?x?y?1 y???其它?0 5．设总体X服从二项分布B(m,p)，则参数p的最大似然估计量p?____

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?X____． m二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，将符合题目要求的所有选项前的字母填在题后的括号内，注：不一定唯一。） 1．设A、B为两个相互独立的随机事件，则下列选项一定正确的是

?A?.P?A?B??P(A)?P?B?； ?B?.P?AB??P(A)； ?C?.P?AB??P(B)； ?D?.P(AB)?P(A)P(B)．

【 B，D 】

2．当随机变量X的可能值充满区间________，则f(x)?cosx可以成为随机变量X的分布密度 ?A?.[0,?]； ?B?.[,?]；

22327?]． 4【 A 】

? ?C?.[0,?]； ?D?.[?,

3．设X~N?2,4?，Y?aX?b，其中a、b为常数，且Y~N?0,1?，则 ?A?.a??1,b?1； ?B?.a??2,b??1； 2 ?C?.a?1,b??1； ?D?.a?2,b??2． 2【 A，C 】

4．如果随机变量X，Y不相关，则下列等式不成立的为

?A?. cov(X,Y)?0； ?B?. ?C?.

D(X?Y)?D(X)?D(Y)；

D(XY)?D(X)D(Y)； ?D?. E(XY)?E(X)E(Y)．

【 C 】

5．设X为随机变量，若E?X??1，D?X??0.1，则一定有 ?A?. P{?1?X?1}?0.9； ?B?. P{0?X?2}?0.9；

?C?P{X?1?1}?0.9.； ?D?.P{X

?1}?0.1．

【 B 】

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三．（本题满分10分）

设有来自三个地区的各10名，15名和20名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽二份

⑴ 求先抽到的一份是女生表的概率．

⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率．

解：设Hi={报名表是i区的考生的} i=1,2,3;

Aj={第j次抽到的报名表是男生表}，j=1，2，则H1，H2，H3是样本空间S的一个划分，且有

P(H1?3i)?3,i?1,2,3 P(A1H1)?10,P(A?715,P(A?51H2)?1H3)?20 （1）由全概率公式

P?P(A?3(H?131715?611)??Pi)P(A1Hi)???????0.3389 i?1310315320180（2）由贝叶斯公式：

?q?P(A?1A2)?P(A1A2)P(A2)?3P(H?1?i)P(A1A2Hi)?3?7?7?8?5?15???i?13?10915142019?2385?3?P(H?)119?2783?0.352i)P(A2Hii?1180 …3

四．（本题满分10分）

设随机变量X的密度函数为f(x)???Ax2e??x,x?00,x?0，(??0)。

? 求: ⑴ 系数A; ⑵ X落在区间(0,1)内的概率; (3) X的分布函数。 解：（1）根据概率密度函数的性质易知A>0,其次有

3 ??????(x)dx????2??x2A????3x2e??x,x?00Axedx??3?1，于是A?2 ，?(x)???2?0,x?0 (2) 当x?0时，F(x)?0，当x?0时

22 F(x)??xxt?x?2?x?2???(t)dt???3?2??02edt?1?2e??x

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…4

…3

…4

??2x2?2?x?2??xe,x?0?1?于是 F(x)?? …4 2?0,x?0? (3) P{0?x?1}?F(1)?F(0)?1?

五．（本题满分10分）

?2?2??22e?? …2

设X概率密度为fX(x)???2x,0?x?1?X， Y?e。

其它?0,1） 求Y的数学期望与方差；2）求Y的概率密度?Y(y)。

4 …3 ?00e11132?2xf(x)dx??e?2x.2xdx??e?2 EY??e002213?235722?12??e?2??16e?1 …3 所以DY?EY?(EY)?(?e)?2?4e2222F(Y)?P(Y?y)?P(e?x?y)?P(x??lny)解：（1）EY?1e?xf(x)dx??e?x.2xdx?2?1?? （2）

??2xdx?1?(lny)?lny12

?2lny?1,e?y?1??y所以?Y(y)?? …4 ?0,其他?

六．（本题满分8分）

一机场的交通车送25名乘客到9个车站，设25个乘客都等可能地在任一个车站下车，并且他们下车与否相互独立，交通车只有在有人下车时才停车，求该交通车停车总次数的数学期望。

解：由题设，每一位乘客在i站下车的概率均为1/9，（i=1,2,....9）,用AK表示“第K位乘客在第i站

下车“，则有 P(AK)?18，P(AK)?(K?1,2......25)又因A1,A2,....A25相互独立，第i站无人下车（因99此不停车）的概率为P(?1,第i站有人下车825 设A)?P(A)?()X?(i?1,2.....9) ???KKi9K?1K?1?0，第i站无人下车2525第 4 页 共 11 页