2013中考复习相似杨老师专题讲座解析版 20130503 文档

解：① 由题意，得点C（0，2）, 点A(-4,0) 设点P的坐标为(a,

12a+2)。其中 a＞0

12 由题意，得 S△ABP＝(a+4)(

12a+2)=9

12解得 a=2 或 a＝-10(舍去)而当a=2时， ② 设反比例函数的解析式为y=

kxa+2=3∴ 点P的坐标为（2，3）。

k2 ∵ 点P在反比例函数的图像上∴ 3＝

6x6 ，

K＝6.∴ 反比例函数的解析式为y= 其中b＞2，那么 BT=b-2.RT=

66b 设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0），

bRT?BTCO ⑴ 当△RTB∽△AOC时，AO 即

RTBT?AOCO?2

∴

b＝2 解得b=3或b=-1(舍去)∴ 点R的坐标为（3，2）

b?2RTCO?BTAO⑵ 当△RTB∽△COA时，

6 即

RTBT?COAO?12

∴

b?1解得b=1+13或b=1-13 (舍去) b?2213?12∴ 点R的坐标为（1+13，）

综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1+13，

13?12）

2．（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点

D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AF＝CB·CD

（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.①求y关于x的函数关系式；

②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.

DPCFA

2. （1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC ∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.

∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B

33

EB

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ∴△DCF∽△ABC ∴

CDAB?CFCBCDABAFCB，即?.∴AB·AF＝CB·CD

（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， ∴AC＝∴y?12AB?BC＝15?9＝12，∴CF＝AF＝6

(x?9)×6＝3x＋27（x＞0）

2222②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小. 显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB. 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝

1215292AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt

92△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋∴当x＝

252＝

252.

时，△PBC的周长最小，此时y＝

1292

3.(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. （3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面

直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验

证BD2＋CE2=DE2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

A B D E G C F 34

y A B D O E G C x F 5. 解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴?ABE∽?DCA (2)∵?ABE∽?DCA ∴

m22n2nBECA?BACD 由依题意可知CA=BA=2

∴? ∴m= 自变量n的取值范围为1

2n (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n ∵m=

∵OB=OC=∴D(1－

12∴m=n=2

A BC=1∴OE=OD=2－1

2, 0)∴BD=OB－OD=1-(

2－1)=2－

2=CE,

H B D E G C DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2

∵BD2＋CE2=2 BD2=2(2－2)2=12－82, DE2=(22－2)2= 12－82∴BD2＋CE2=DE2

(4)成立证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则

F CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.连接HD,在?EAD和?HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.∴?EAD≌?HAD

∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD2+HB2=DH2即BD2＋CE2=DE2

4. （2011广东汕头，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

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【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB

∴

CGAB?ACBH，即

x9

?

9y

，所以，y?81x（3）当CG＜

12BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，

∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=即x=9212BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，GC=12BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA

922，

2当CG＞

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，则AC=CG，此时x=9 综上，当x=9或

922时，△AGH是等腰三角形．

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