2013中考复习相似杨老师专题讲座解析版 20130503 文档

例2、 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为 ( )

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6

分析 由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比为2，则

S△ABCS△DEF?41，所以S△DEF＝

124＝3，△DEF的周长为

162＝8．故选A．

例3、 已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．

分析 利用相似三角形的性质求解．故填2：5．

例4 、 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，则AB：A′B′＝ ．

分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S△ABC：S△A′B′C′＝1：2，得AB：A′B′＝1：2.故填1：2. 例5 、（2012山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中

点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB?与△B?DG的面积之比为（ ）

A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9

【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得B?F=BF=3-x,在Rt△FCB?中，由由勾股定理得

4222222

CF+CB?=FB?，x+1=(3-x),解得x=,由已知可证Rt△FCB?∽Rt△B?DG，AR所以S

3416：1）2=.【答案】D. △FCB?与S△B?DG的面积为（39专题4、 数形结合思想 例1 、（2012山东泰安）如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF；（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得△ABH∽△ECM；（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：

MRRC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM=，即可求得答案． ?sin45

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【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF.（2）△ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM.（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2， ∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴MR=ER=RC=，∴EM=

MRsin45?=．

【点评】考查了矩形的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用．

提优训练一、（2012四川宜宾，24，12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，

且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。

（1） 求证：△ABE∽△ECM;

（2） 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出

BE的长；若不能，请说明理由；

（3） 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。

【解析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM； （2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；

（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积． 【答案】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,

2

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE 又△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B,

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∴∠CEM=∠BAE, ∴△ABE∽△ECM

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C ∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM 当AE=EM时，则△ABE≌ECM ∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=1 当AM=EM时，∴∠MAE=∠MEA ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM 即∠CAB=∠CAE

又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴∴CE=

AC2CEAC?ACCB

CB?256,∴BE=6-

256=

116

（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM ∴

CMBE?CEAB,∴

CMx15?6?x5∴CM=－x2?5165x=?15?x?3?2+

59∴AM=5-CM=5-﹝?12?x?3?2+﹞=?x?3?2+

5591165,∴当x=3时，AM最短为

165，

又当BE=x=3=BC,点C为BC的中点， ∴AE⊥BC,∴AE=AB2?BE2=4 此时，EF⊥AC,∴EM=CE2?CM∴S△AEM=

．

2?125,

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解。

例2 、（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。 ①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断值；若不是，请说明理由。

1DM?1DN是否为定值，若是，请求出该定

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考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心．

分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；

（2）①首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可 为定值2． 解答：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，

C E D F B

O A 第25题 图1

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠

ADC．AO=DC=BC，

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°， 又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE= CD，OF= BC，AO= AD， ∴0E=OF=OA，∴点O即为△AEF的外心． （2）①猜想：外心P一定落在直线DB上．

C I E D F P B

证明：如图

A J

第25题 图2

2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ

⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA， ∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，

∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

② 为定值2．当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点． 连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．

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