2013中考复习相似杨老师专题讲座解析版 20130503 文档

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由. A

E

D

2

O B F

C

分析：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；

解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO， ∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2， ∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）， ∴△ABF的周长为14+10=24cm；

（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，∴△AOE∽△AEP，∴∵四边形AECF是菱形，∴AO=

12AEAP=

AOAE，∴AE=AO?AP，

2

AC，∴AE2=

12AC?AP，∴2AE2=AC?AP．

例9、（2011湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．（1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD

13

的长．

分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD； （2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；

11ANAB（3）由（2）的结论得==2，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC；

33CNCD（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°． （1分） ∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°， ∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，即∠BAE=∠BCD．（2分）

在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD， ∴△ABE≌△CBD．（3分） （2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，

AB2∴△ANB∽△CND．（5分）其相似比为：==2；（6分）

CD1

（3）由（2）得

ANCNABCD121313==2，∴CN=AN=AC，（8分）同理AM=AC，∴AM=MN=NC．（9

分）（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，

∵∠BCD=120°，

12∴∠DCF=60°．（1O分）在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，∴CF=

1221?()2CD=

12，

∴DF=

CD?CF22==

32； （11分）在Rt△BDF中，

14

∵BF=BC+CF=2+分）

12=

52，DF=

532，∴BD=BF2?DF2=()2?()=7．（122223例10、（湖南株洲市）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：△COM∽△CBA；（2）、求线段OM的长度.

【解析】要证明△COM∽△CBA就是要找出∠COM=∠B即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.

【解】（1）证明： ?A与C关于直线MN对称?AC?MN?∠COM=90°在矩形ABCD中，∠B=90°?∠COM=∠B-------------1分又?∠ACB=∠ACB------2分?△COM∽△CBA -----3分（2）?在Rt△CBA中，AB=6，BC=8?AC=10---------4分

15? OC=5?△COM∽△CBA-------5分?OCOM?OM=------6分 =4BCAB提优训练一. （2011四川绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.(1)若BD是AC的中线，

BDBD

如图2，求的值；(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；(3)结合（1)、（2)，

CECEBDBD4

请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若CECE3能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.

ADDAEEBCBC

AEDBC

15

【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=5x,∵△ABD∽△CDE, 可得CE=

25x,所以

BDCE?ABCD,

BD5

=（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x，AB=2x+x,由 CE2

（4+22）x2 △ABD∽△CDE，

ABAD?ECDE?1?12勾股定理可知BD=,∴

EC=

x2?22, BDBD=2,(3)由前面两步的结论可以看出，≥1,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等CECE分点和点A之间

提优训练二、 （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）

（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：

DPBQ?PEQC． （2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个

顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN=DM·EN．

2

【答案】（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ， ∴DP/BQ＝AP/AQ．同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．

∴DP/BQ＝EP/CQ．（2）

29．（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．

∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC．∴DG/CF＝BG/EF， ∴DG·EF＝CF·BG又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG 由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

∴MN2＝DM·EN ?

专题3：射影定理的灵活运用

双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD?BD⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB

结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式

例一、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，

16