2013中考复习相似杨老师专题讲座解析版 20130503 文档

FGAEDBC（第28题）

12【答案】解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝

得 AC＝12?()2＝

2152

∵BC＝CD，AE＝AD∴AE＝AC－AD＝

5?12．

5?12 （2）∠EAG＝36°，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝

∴

AEFA

＝

5?12∴△FAE是黄金三角形∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

∵AE＝AG，FA＝FE∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA∴∠EAG＝∠F＝36°．

例四、（2012四川省资阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是A．63B．123 C．183

CMND．243 ADB（第10题图）

【解析】由MC＝6，NC＝23，∠C＝90°得S△CMN=63，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.【答案】C

例五、（2012湖北随州）如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为______________。10

9

解析：：∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴

AEAB?DECB，DE=10

例六、（2012陕西）如图，在?ABCD中，?ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点

E、F．（1）求证：AB?AF；（2）当AB?3，BC?5时，求

AEAC的值． AEEC【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF∽△CEB先求出【答案】解：（1）如图，在?ABCD中，AD//BC， ∴?2??3．

∵BF是?ABC的平分线， ∴?1??2． ∴?1??3．

∴AB?AF．

（2）??AEF??CEB，?2??3，∴△AEF∽△CEB，∴

AEEC?AFBC?35，再求

AEAC.

，∴

AEAC?38．【点评】本题综合考查了平行四边形

的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等. 专题2：相似三角形的性质

知识复习填空1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．

2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应

角的角平分线之比等于______．

3．相似三角形的周长比等于______．4．相似三角形的面积比等于______． 5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．

6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．

1．相等，相似比． 2．相似比、相似比、相似比．3．相似比． 4．相似比的平方． 5．相似比．相似比的平方． 6．4∶5．7．5∶2，25∶4．

【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．

例1、如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，4 cm，则BC的长为 ( )

A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm

ADBD?12，DE＝

10

DEBCADABADBD12ADAB13 分析 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，所以

DEBC?13?．因为

?，所以

?,

．因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B.

例2、 如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC. (1)求∠EDB的度数； (2)求DE的长．

分析 (1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝由DE∥BC，得△ADE△ACB，则

DEBC?AEAB12∠ABC，可求∠EDB．(2)

，再证出BE＝DE，可求DE．

解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC， ∴ ∠DBC＝

12∠ABC＝

12×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．

(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC， ∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，

∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB， ∴

DEBC?AE?ABA?BABBE??ABAB. ∴

DEDE12?12?DE12，∴DE=6 cm

【解题策略】 将比例式中的AE转化为AB－DE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解．

例3、 如图27－101所示，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证△ABC∽△FDE．

分析 由已知可证∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，从而可证△ABC∽△FDE．

证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，∴△ABC∽△FDE． 例4、 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．

分析 由矩形的性质可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可证∠AFB＝∠D和∠DAE＝∠FBA，从而证明△ABF∽△EAD．

证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝∠D＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°．又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°， ∴∠ABF＝∠EAD，∴△ABF∽△EAD，

例5、(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______

相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，答案：9：1 例6、（2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长；

11

解：

（2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知DF?可得BG?b?c212b,DE?12c，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，

.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利

用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明. 解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点

11∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG与四边形ACDG周长相等

22即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG∴BG=AC+AG∵BG=AB－AG∴BG=（2）证明：BG=

b?c2AB?AC2=

b?c2

，FG=BG－BF=

b?c2－

c2?b2∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD

又∵DE∥AB∴∠EDG=∠FGD∠FDG=∠EDG∴DG平分∠EDF

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,

∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG, 则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,

∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做. 例7、（2012浙江省衢州）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)

【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a

例8、（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

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