高考数学必考知识点18排列组合二项式定理与概率

2013年高考数学必考知识点18 排列、组合、二项式定理与概率

1．(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )． A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

答案： D [对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C4＋C4C5＋C5＝66种．]

2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．

A．232 B．252 C．472 D．484

答案：C [若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C4×C4×C4＝64种，若2张同色，则有C3×C2×C4×C4＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C4×C3×C4×C4＝192种，剩余2张同色，则有C4×C3×C4＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.]

3．(2012·辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm的概率为( )．

1124A. B. C. D. 6335

答案：C [设出AC的长度，先利用矩形面积小于32 cm求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设

2

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

1

11

1

1

4

22

4

AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求

82概率为＝.]

123

?21?63

4．(2012·广东)?x＋?的展开式中x的系数为________(用数字作答)．

?

x?

?21?6?1?rr12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系r26－r解析 由?x＋?的展开式的通项为Tr＋1＝C6(x)·??＝C6x?

x?

?x?

6×5×43

数为C6＝＝20.

1×2×3

答案 20

排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．

由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，因此备考时：①要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；②要牢记排列数、组合数、二项展开式公式；③排列组合是进行概率计算的工具，在复习概

率时要抓住概率计算的核心和这个工具.

必备知识

排列、组合

(1)排列数公式An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，An＝(2)组合数公式及性质

mmn！n**

，An＝n！，0！＝1(n∈N，m∈N，m≤n)．

n－m！

Annn－1C＝m＝

Ammnmn－2…n－m＋1

，

m！

Cn＝

mn！0mn－mmmm－1

，Cm＝1，Cn＝Cn，Cn＋1＝Cn＋Cn.

m！n－m！

二项式定理

(1)定理：(a＋b)＝Cna＋Cnan0n1n－1

n－rr－1n－1nn*

b＋…＋Crb＋…＋Cn＋Cnb(n∈N)． nanabrn－rr通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Cna(2)二项式系数的性质

b，其中Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 Cn＝Cn，Cn＝Cn，Cn＝Cn，…，Cn＝Cn. ②二项式系数的和等于2，即 Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

1

1

3

5

0

2

4

0

1

2

0

n1n－12n－2rn－rnnnn－

.

(3)赋值法解二项式定理有关问题，如

3＝(1＋2)＝Cn＋Cn·2＋Cn·2＋…＋Cn·2等． 古典概型 (1)P(A)＝＝

nn0

1

1

2

2

nnmA中所含的基本事件数

n基本事件总数

(2)求古典概型概率的方法和步骤

①反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． ②判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件．

③利用列举法或排列组合知识计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m. ④计算事件中A的概率P(A)＝.

mn必备方法

1．解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 2．解排列、组合问题的常用策略：

a．相邻问题捆绑法；b.不相邻问题插空法；c.多排问题单排法；d.定序问题倍缩法；e.多元问题分类法；f.有序分配问题分步法；g.交叉问题集合法；h.至少或至多问题间接法；i.选排问题先取后排法；j.局部与整体问题排除法；k.复杂问题转化法．

3．二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(1＋x)展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x＝1即得，而(1－x)的展开式中各项系数的绝对值的和，直接令x＝－1，这样就不难类比得到(1＋ax)展开式中各项系数绝对值的和为(1＋|a|).

nnnn排列与组合的应用

以实际生产、生活为背景的排列、组合问题是近几年的常考内容，解题时要先将问题转化为排列组合问题后再求解．题目多为中低档题，为后面学习概率做基础．

【例1】? 某城市举行奥运火炬接力传递活动，传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] 按照第一棒是否为甲、乙分两类求解． 解析 按照第一棒是否为甲，乙，可分为两类：

①第一棒是丙，则第六棒的安排有C2种，中间4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有C1·C2·A4＝48种； ②第一棒是甲，乙中一人，则第一棒的安排有C2种，最后一棒则只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中间4棒剩余4人全排列，矿不同的安排方法有C2·C1·A4＝48种．

根据分类计数原理，可得不同的方案共有48＋48＝96种． 答案 96

对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．

【突破训练1】 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )． A．72 B．96 C．108 D．144

答案： C [从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C3种方法，将其余两个偶数全排列，有A2种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A3种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A2·A3种方法，故满足题意的偶数个数有C3·A2(A3＋

2A22·A3)＝108.]

3

2

2

1

2

3

1

2

1

1

4

1

1

1

1

4

二项式定理的应用

求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式．

【例2】? (2011·安徽)设(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a21x，则a10＋a11＝________. [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 由Tr＋1＝C21x解析 Tr＋1＝C21x11

21

2

21

r21－r(－1)求解．

11

11

10

10

rr21－r(－1)，∴a10＝C21(－1)，a11＝C21(－1)，

10

10

10

r∴a10＋a11＝－C21＋C21＝－C21＋C21＝0. 答案 0

1.利用二项展开式的通项分析求解时，注意二项式系数与项的系数的区别．

2．二项式定理的应用不仅要注重它的“正用”，而且重视它的“逆用”；还要注意特殊值法的使用． 2?n?【突破训练2】 若?x＋2?展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．

?x?

A．360 B．180 C．90 D．45 答案： B [依题意知：n＝10， ∴Tr＋1＝C10(x)

r10－r?22?r＝Cr2r·x5－5r，

?x?10

2??

522

令5－r＝0得：r＝2，∴常数项为：C102＝180.]

2