八年级数学下册17.1变量与函数1教案华东师大版

17.1变量与函数(1)

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；

2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.

教学过程 一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1 如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答：

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃； (2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃；

(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生

活中是否还有其它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：

周岁 体重(kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？

解 随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：

观察上表回答：

(1)波长l和频率f数值之间有什么关系? (2)波长l越大，频率f 就________. 解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即

lf＝300 000，

或者说 f?300000. l(2)波长l越大，频率f 就 越小 .

问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________.

利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________. 解 S＝πr.

2

圆的半径越大，它的面积就越大.

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称

y是x的函数(function).

表示函数关系的方法通常有三种： (1)解析法，如问题3中的f?的关系式.

(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表. (3)图象法，如问题1中的气温曲线.

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等.

在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数.

三、实践应用

例1 下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：

年龄组(岁) 平均身高(cm) 7 8 9 125 10 130 11 135 12 142 13 148 14 155 15 162 16 167 17 170 18 172 3000002

，问题4中的S＝π r，这些表达式称为函数l117 121 (1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解 (1)平均身高是155cm；

(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，

平均身高是因变量.

例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量,指出自变量的取值范围： (1)圆的周长C与半径r的关系式；

(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式； (3)n边形的内角和S与边数n的关系式.

解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量，r≥0； (2)s＝60t，60是常量，t、s是变量，t≥0；

(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量，n≥3. 四、交流反思 1.函数概念包含： (1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系.

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.

3.函数关系三种表示方法： (1)解析法； (2)列表法； (3)图象法.

4. 函数的取值范围：

在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子. 2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm)与这边上的高h(cm)的关系式是S?2

5h； 2(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；

(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)