《应用离散数学》方景龙版-43群的性质、循环群

习题4.3

??是群，若?x?G有x2?e，证明?G，??为交换群。 1. 设?G，解 略

??是群，证明G是交换群的充分必要条件是?a，b?G有2. 设?G，222(a?b)?a?b?a，b?G解 必要性：如果G是交换群， 有是显然的。 222(a?b)?a?b充分性：根据得a?b?a?b?a?a?b?b，再由消去律得

(a?b)2?a2?b2。

b?a?a?b，即交换律成立，所以G是交换群。

333(a?b)?a?b?G，??a，b?G3. 设是群，并且对任意的都有，

(a?b)5?a5?b5，证明G是交换群。

解 略

??是有限半群，且满足消去律，证明G是群。 4. 设?G，解 对于?a?G，考虑集合

Ga?{a,a2,a3,?,am,?}

由封闭性可知Ga?G。又由于G是有限集，所以Ga也是有限集。故 必有n,k?0，使得 所以?b?G有 由消去律可得

kan?an?k an?b?an?k?b b?ak?b

这表明a是左单位元，同理可证它是右单位元，所以a是单位元。又因为

kak?1?a?a?ak?1?ak?e k?1??是群。 所以，a有逆元a。因此，?G，

??是群，a，b，c?G，证明 5. 设?G，|a?b?c|?|b?c?a|?|c?a?b|

解 略

??是群，|b|?m且n与m互质，a，b?G且a?b?b?a。6. 设?G，如果|a|?n，证明|a?b|?n?m。

解 略

7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。 解 略

8. 证明由1的n次复根的全体所组成的集合在复数乘法下构成一个n阶循环群。 解 由代数的知识可知，1的n次复根的全体所组成的集合为

2k?inG?{e?e2p?in|k?0,1,2,?,n?1}

2p?in,e2q?in?G,p,q?{0,1,2,?,n?1}，有e?e2q?in?e2(p?q)?in。若p?q?n，

则e2(p?q)?in?G；若p?q??n，则存在k?{0,1,2,?,n?1}，使得p?q?n?k，而

2(n?k)?ine2(p?q)?in?G。因此G关于数的乘法是封闭的。故?G,??是代数系统。

数的乘法运算满足结合律。故?G,??是半群。

?e?e因为?e2k?in2k?in2k?in?G，有1?e2k?in?e2k?in?1?e2(k?0)?in?e2k?in，所以1?e2?0??in是G的么

元。故?G,??是有幺半群。

?e?G，存在e2(n?k)?in2(n?k)?in?G，使得

2k?ine群。

2k?in?e?e2(n?k)?in?e2?in?e2?i?1，所以e2k?in的逆元存在。故?G,??是

因为e

2k?in?[e2?ikn]，故e是群G的一个生成元，因此G是循环群。

9. 阶数为5、6、14、15的循环群的生成元分别有多少个？

解 设a是阶数为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有2，3，4与5

234a,a,a互质，所以也是生成元，因此生成元个数为4。

设a是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以a也是生成元，因此生成元个数为2。

设a是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，

359a,a,a13与14互质，所以

5a11a13也是生成元，因此生成元个数为6。 a11a13a14也是生成元，因此生成元个数为7。

设a是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，

248a,a,a13，14与15互质，所以

，5，7，11}，对于G上的二元运算“模12乘法?12”10. 设G?{1：

i?12j?(i?j)(mod12)

?12?构成群。 （1）证明?G， ?12?是循环群吗？ （3）?G，

（2）求G中每个元素的次数。