差分方程及其建模举例

设点在

满足：

点附近取函数

，

的一阶近似：

合并两式可得：这是关于

的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模

型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。

其中，斜率。

为f 在点处的切线斜率；为g(x)在点处切线的

方程（3.9）递推可得：

所以，点稳定的充要条件是：即：

这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。 1. 模型推广 如果决策时考虑到

与

都有关系，则可假设

这时数学模型为：

对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程

则有：

再结合（3.7）可得：

即：

特征方程为：

特征根为：

所以：时，，此时解不稳定。

时，从而解是稳定的。

，则时，

这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水 平提高了。

进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，例如：设

，；另外还可以考虑引入投资额

有关的离散方程关系。

，并建立

模型4 人口的控制与预测模型

背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。

模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。 1. 设这个地区最大年龄为m岁

2. 第t年为i岁的人数为，

这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。

3. 设第t年为i岁的人口平均死亡率为死亡数与基数之比：即：

，即这一年中i岁人口中

4. 设第t 年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿 数为

，

为生育区间。

为第t年i岁人口的女性比（占全

部i岁人口数）

由此可知：第t 年出生的人数为：

5. 记第t 年婴儿的死亡率为

，则

6. 设

，它表示i岁女性总生育率，

则变，则

，如果假设年后女性出生率保持不