江苏省苏州实验中学解析几何专题系列1

解析几何专题系列（一）

------------特殊值法在过定点问题中的应用

问题：（2011届南京二模17）如图, 椭圆C：

x216+

y24=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B、D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E、P分

别是线段OA、AM的中点。

（1） 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.

（2） 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于R、S（不同于B点），且它们的斜率k1、k2满足k1?k2??坐标。

14，求证：直线RS过定点，并求出此定点的

变式：（2）”k1?k2??

14

”改为“k1?k2??1”，求证：直线RS必过y轴上一定点，并求出此定点的坐标。

例1：以F1(0,?1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P(（1）求椭圆C的方程； （2）过点S(?13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过

22,1)

点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，则说明理由。 解答：（1）x?

2y22（2）T(1,0) ?1；

反馈练习（2010年无锡市期末）：已知椭圆

x24（1） 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

（2） 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． 解．（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y?x?2， ?????????????????1分

?y?1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

2代入椭圆方程并化简得：5x2?16x?12?0， ?????????????????2分

64,)． ????????????????????4分

555（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y?k(x?2)，

解之得x1??2,x2??6，∴M(??y?k(x?2),?22222则?x 化简得：(1?4k)x?16kx?16k?4?0．???????????6分 2?y?1,??4∵此方程有一根为?2，∴xM?2?8k1?4k22， ?????????????????????7分

同理可得xN?2k?8k?422．?????????????????????????????8分

65,0)．???????????????????9分

由（1）知若存在定点，则此点必为P(?k(65?2?8k22∵kMP?yMxM?1?4k22?8k2?2)?65?5k4?4k2，???????????????????11分

同理可计算得kPN?1?4k5k4?4k2．??????????????????????????13分

65,0)． ??????????????????????16分

∴直线MN过x轴上的一定点P(?高考体验：（2010年江苏高考）18、在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆

??1的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（t,m）的直

95线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。

x2y2（1）设动点P满足PF（2）设x1?2,x2?132?PB2?4,求点P的轨迹；

，求点T的坐标；

等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的

（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程能力。满分16分。 （1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由PF2?PB22222?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?92。

故所求点P的轨迹为直线x?（2）将x1?2,x2?1392。

53分别代入椭圆方程，以及y1?0,y2?0得：M（2，

）、N（

13，?209）