2019年高考数学（文）一轮复习精品资料：专题13 导数的概念及其运算（教学案）（原卷版）

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

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3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义

函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率Δx→0lim 导数，并记作f′(x0)，即Δx→0lim

＋

－

Δx

＋

Δx

＝f′(x0)． －

＝l，通常称为f(x)在点x0处的

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)． 2．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式 y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ (x>0，μ≠0) y＝ax (a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)

y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn－1，n为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y′＝axln a y′＝ex 1y′＝xln a 1y′＝x y′＝cos x y′＝－sin x ???′＝?

－

(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的

导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

高频考点一 导数的运算 例1、求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx；

(3)y＝3xex－2x＋e；

lnx

(4)y＝；

x2＋1

(5)y＝ln(2x－5)．

【感悟提升】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

【变式探究】(1)f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于( ) A．e2 B．1 C．ln2 D．e

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2 C．2 D．0

高频考点二 导数的几何意义

lnx－2x

例2、(1)函数f(x)＝x的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )

A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0

(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．

【变式探究】(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( ) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 (2))已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

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【举一反三】已知f(x)＝lnx，g(x)＝2x2＋mx＋2(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于( )

A．－1B．－3C．－4D．－2

高频考点三、导数与函数图象的关系

例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )

【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

??y1＝

(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由?

?y0－y1＝?

，

－

求

解即可．

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

π

【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′(4)，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为( ) A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．

1f(x)?x-sin2x?asinx???,???31.【2019高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a

的取值范围是（ ）

1??1??11???1,?,?1,???1,1?（B）?3??3??（C）??33??（D）??? （A）

??lnx,0?x?1,?lnx,x?1,2.【2019高考四川文科】设直线l1，l2分别是数f(x)= ?图象上点P1，P2处的

切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值

范围是( )

(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)

3f(x)?x?12x的极小值点，则a=( ) a3.【2019高考四川文科】已知函数

(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【2019高考新课标1，文14】已知函数过点

f?x??ax3?x?1的图像在点

?1,f?1??的处的切线

f??x?f?x??2,7?，则 a? .

f?x??axlnx,x??0,??? ,其中a为实数,

为

【2019高考天津，文11】已知函数的导函数,若

f??1??3 ,则a的值为 ．

【2019高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. m

（2019·陕西卷） 设函数f(x)＝ln x＋x，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； x

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－3零点的个数；

f（b）－f（a）

(3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．

b－a

（2019·安徽卷） 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． （2019·北京卷） 已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；

(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；

(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)

（2019·福建卷） 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜ex；

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.