高中数学典型例题大全第一章 概率与统计 正态分布doc

借助于标准正态分布表求值

例 设?服从N(0,1)，求下列各式的值：

（1）P(??2.35); （2）P(???1.24); （3）P(??1.54).

分析：因为?用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出x0?0,P(??x0)??(x0)的情形，故需要转化成小于非负值x0的概率，公式：

?(?x)?1??(x);P(a???b)??(b)??(a);和P(??x0)?1?P(??x0)有其用武之

地．

; 解：（1）P(??2.35)?1?P(??2.35)?1??(2.35)?1?0.9906?0.0094; （2）P(???1.24)??(?1.24)?1??(1.24)?1?0.8925?0.1075（3）P(??1.54)?P(?1.54??1.54)??(1.54)??(?1.54)

??(1.54)?[1??(1.54)]?2?(1.54)?1?0.8764.

说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没

有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．

求服从一般正态分布的概率

例 设?服从N(1.5,2)试求： （1）P(??3.5); （2）P(???4); （3）P(??2); （4）P(??3).

分析：首先，应将一般正态分布N(1.5,2)转化成标准正态分布，利用结论：若

2?~N(?,?2)，则由??????x???~N(0,1)知：P(??x)????,其后再转化为非负标?????3.5?1.5?; ???(1)?0.84132??准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．

解：（1）P(??3.5)???

（2）P(???4)?????4?1.5?; ???(?2.75)?1??(2.75)?0.00302???2?1.5?; ??1??(0.25)?0.40132??（3）P(??2)?1?P(??2)?1???（4）P(??3)?P(??2)?1????3?1.5???3?1.5??????

2??2????(0.75)??(?2.25)?0.7734?[1??(2.25)] ?0.7734?(1?0.9878)?0.7612.

说明：这里，一般正态分布?~N(?,?)，总体小于x的概率值F(x)与P(??x)和

2?x????x???是一样的表述，即：??P(??x)?F(x)?????.

??????服从正态分布的材料强度的概率

例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度?服从N(200,18). （1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．

（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．

分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．

解：（1）P(??180)?1?P(??180)?1???2?180?120???1?

?18??(?1.11)?1?[1??(1.11)]??(1.11)?0.8665;

（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．

?150?200?P(??150)?1?P(??150)?1???; ??1??(?2.78)?1?[1??(2.78)]??(2.78)?0.997318??即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批

材料符合所提要求．

说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．

公共汽车门的高度

例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计

,36)（单位：㎝）的，如果某地成年男子的身高?~N(175，则该地公共汽车门的高度应设

计为多高？

分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为x(cm)，使其总体在不低于x的概率值小于1％，即：P(??x)?0.01?1%，从中解出x的范围．

解：设该地公共汽车门的高度应设计高为xcm，则根据题意可知：P(??x)?1%，由

,36)， 于?~N(175所以，P(??x)?1?P(??x)?1????x?175???0.01;

?6?也即：???x?175???0.99;

?6?x?175?2.33; 6通过查表可知：

解得：x?188.98;

即该地公共汽车门至少应设计为189cm高．

说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．

学生成绩的正态分布

例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？

分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．

解：设x表示这个班的数学成绩，则x服从N(80,10) 设Z?2x?80则z服从标准正态分布N(0,1)． 10查标准正态分布表，得：

?(1)?0.8413,?(0)?0.5000

所

p(80?x?90)?p(以

80?80x?8090?80??)?p(0?z?1)??(1)??(0)?0.8101010?0.5?0.3，

4

∴48?0.3413?16.3824?16．

说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．