2011年高等数学复习

2011年高等数学Ⅰ(2)复习

第七章 微分方程

1. 掌握一阶微分方程（可分离变量、齐次、一阶线性）的通解和特解。例如： （1）求微分方程sec2xtanydx?sec2ytanxdy?0的通解．

（2）求微分方程y??xyy?x满足yx?1?2的解．

（3）求微分方程y??ytanx?sin2x的通解．

（4）

（5）

2. 线性方程组的解的结构 （1）设

y1与y2是微分方程y??P(x)y?Q(x)的两个不同的解，则方程的通解为（

A. c(y1?y2)?y1； B. cy1?y2； C. cy2?y1； D. c(y1?y2)?y1.

3. 二阶可降阶的微分方程，例如： （1）求微分方程y???x?sinx的通解．

（2）求微分方程xy???y??0的通解．

4. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解和特解，例如 （1）求微分方程y???6y??13y?ex的通解．

（2）求微分方程4y???20y??25y?0的通解．

（3）

1

.

）第八章 空间解析几何

1. 掌握向量的向量积和数量积的计算，例如

求

2. 会结合第九章求平面方程和直线方程

3. 掌握平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程，例如 （1）求下列各平面曲线按指定轴旋转所成旋转曲面的方程：

（2）说明下列旋转曲面是怎样形成的.

第九章 多元函数微分法及其应用习题

1. 掌握多元函数的连续性、偏导数的存在性、偏导数的连续性及可微性之间的关系。

2. 熟练掌握具体函数、抽象函数的一阶和二阶偏导数的求法，掌握隐函数求导。

3. 掌握全微分（即dz）的求法。例如

（1）求方程e?z?xy?3在所确定的隐函数的导数 （2）设?

（3）求函数z?xy?zdy． dzdy?x?y?z?0，求由此方程组所确定的隐函数的导数． 222dz?x?y?z?4x的全微分． y2

?z（4）设z?f(y,xy)?g(x)，其中f具有连续的二阶偏导数，g二阶可导，求.

xy?x?y

4. 多元函数微分学的几何应用（即会求曲面的切平面方程和法线方程、曲线的切线和发平面方程。例如

2

5. 掌握多元函数的极值求法，例如

第十章 重积分习题

1. 掌握二重积分的运算（利用对称性简化计算）（直角坐标和极坐标）。

2. 掌握三重积分的运算（利用对称性简化计算）（直角坐标、柱坐标）。例如： （1）已知D:（2）已知D:（3）设?:x2x?1,y?2，则??(5?2011x3siny)d?= . Dx2?y2?1，则??D(x?y)2dx= .

2(x?y?z)dS= ． ?y2?z2?4，则????（4）求由曲面z=x2+y2及z=6-2x2-y2围成的立体的体积.

（5）计算三重积分I?

（6）交换积分次序

???(x?2?y2)dxdydz, 其中?是球面x2 ?y2?z2?4所围成的空间闭区域.

?0?1dy?21?yf(x,y)dx3

第十一章 曲线积分与曲面积分

1. 掌握曲线积分和曲面积分的性质主要是对称性简化计算。

2. 熟练掌握格林公式和高斯公式。例如

的右侧部分的外侧.

计算 I???xdydz?ydzdx?zdxdy,∑是球心在原点半径为R的上半球面取下侧.

?

计算曲线积分I??(xy?yL3)dx?x3dy,其中L是沿着曲线

x2?y2?4, (x?0)由点A(0,1)到点B(0,?1)的一段弧.

第十二章 无穷级数

1. 掌握数项级数的性质，重点是正项级数的比值判别法和交错级数莱布尼兹判别法判断给定级数的收敛性和发散性，掌握条件收敛和绝对收敛的定义。

2. 掌握幂级数的收敛半径收敛域及和函数的求法利用和函数求数项级数的和。

3. 会用Abel定理判断给定级数的收敛性。

4. 掌握两个重要级数：P—级数和等比级数的敛散性 （1）若

?a(x?1)nn?1?n在x??1处收敛，则此级数在xC．发散；

??2处 ［ ］．

A．条件收敛；

B．绝对收敛； D．不能确定．

?（2）求下列级数的收敛域及和函数：（1）?n(x?1)n；(2)?n3nx2n

n?1n?1?1x3x5（3）x????，并求?的和； n35n?1(2n?1)2

4

（4）判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和：

n． ?n?1(n?1)!

?11111111??2??3????n???． 3531031535n

第三模块考试（A卷） 计算题

1. 改变下列二次积分的顺序

2. 利用极坐标计算二重积分一象限内的闭区域.

3. 计算三重积分 4. 将

5. 计算曲线积分

6. 计算曲线积分段弧．

7. 计算曲面积分

8. 计算曲面积分的左侧．

5

?21dx?2x?x22?xf(x,y)dy.

??Dln(1?x2?y2)d?，其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第

????zdxdydz, 其中积分区域?由曲面z2?x2?y2及z?2所围成的闭区域.

?1?1dx?1?x20dy?2?x2?y2x2?y2f(x,y,z)dz化为柱坐标系下的三次积分．

??L(x2?y2)1005ds，其中L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)．

??其中?为曲线x?k?,y?acos?,z?asin?对应?从0到?的一x2dx?zdy?ydz，

???(x2?y2)dS，其中?为锥面z2?3(x2?y2)被平面z?0和z?3所截得的部分．

???22ydxdz，其中?为柱面x?y?1被平面z?0和z?3所截得的在第一卦限内的部分