上海各区高三二模数学试卷带答案

静安、杨浦、青浦、宝山

2013—2014学年数学试卷（理科）

2014.4

一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)

1?i01. 二阶行列式的值是 . （其中i为虚数单位）

1?i1?i等于 .

3. 二项式(x?1)7的展开式中含x项的系数值为_______________.

3??2. 已知i,j是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量i?j的模

4. 已知圆锥的母线长为5,侧面积为15?,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留?) 5. 已知集合A?yy?sinx,x?R，B?xx?2n?1,n?Z，则A?B? . 6. 在平面直角坐标系xOy中，若圆x2?(y?1)2?4上存在A，且弦AB的中点为P(1,2)， B两点， 则直线AB的方程为 .

7. 已知log2x?log2y?1，则x?y的最小值为_____________.

*8. 已知首项a1?3的无穷等比数列?an?(n?N)的各项和等于4，则这个数列?an?的公比

????是 ．

9. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?????????? M为C1上的动点，P点满足OP?2OM，点P的轨迹为曲线C2．则C2的参数方程

为 .

10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .

11. 从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机 变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 12. 设各项均不为零的数列?cn?中，所有满足ci?ci?1?0的正整数i的个数

称为这个数列?cn?的变号数.已知数列?an?的前n项和

?x?2cos?,（?为参数），O为坐标原点，

?y?2sin?,开始 x?1,y?1 z?x?y Sn?n2?4n?4，

4（n?N*），则数列?bn?的变号数为 . bn?1?an13. 已知定义在?0,???上的函数f(x)满足f(x)?3f(x?2).当x??0,2?时

2f(x)??x?2x.设f(x)在?2n?2,2n?上的最大值为an，且数列 {an}的

前n项和为Sn，则limSn? . （其中n?N*）

n??z?20 是 否 输出x?y y xy?z 第10题图

结束 14. 正方形S1和S2内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设?A??，若S1?441，

S2?440，

则sin2?? . 1 / 4

A

A

?F F

S1

C

?D

F M

E

B

C F

Q

P

S2

B

N

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编

号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. 在实数集R上定义运算?：x?y?x?(1?y)．若关于x的不等式x?(x?a)?0的解集是 集合{x|?1?x?1}的子集，则实数a的取值范围是……………………（ ）. (A)[0,2] (B) [?2,?1)?(?1,0] (C) [0,1)?(1,2] (D)[?2,0]

16．“??1”是“函数f(x)?sin2?x?cos2?x的最小正周期为?”的………（ ）.

(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件

17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1:S2=…

（ ）.

(A) 1:1 (B)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1

?x,0?x?1,?18. 函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)??1x对于任意的x?R都有

()?1,?1?x?0.??2.若在区间[?1,3]上函数g(x)?f(x)?mx?m恰有四个不同的零点， f(x?1)?f(x?1) 则实数m的取值范围是…………………………………………………（ ）.

?1??1??1??1? (A)?0,? (B)?0,? (C)?0,? (D)?0,?

?2??4??2??4?三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）

?CAD?90?，PA?平面ABCD， 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

PA?BC?1，AB?2，F是BC的中点.

（1）求证：DA?平面PAC；

（2）若以A为坐标原点，射线AC、AD、AP分别是轴、轴、轴的

正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得n?(1,1,1)是平面PCD的 法向量，求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

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PADBFC 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧AD、

弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的

半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0?x?10），圆心角为?弧度． （1）求?关于x的函数关系式；

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条 弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y， A 当x为何值时，y取得最大值？

B C?

O

(第20题图)

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分

D x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，短轴的端点分别为B1,B2，且

ab?????????FB1?FB2??a.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F且斜率为k(k?0)的直线l交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.

DP 设弦MN的中点为P，试求的取值范围．

MN

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22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分

设函数g(x)?3x，h(x)?9x.

（1）解方程：x?log3(2g(x)?8)?log3(h(x)?9)； （2）令p(x)?

g(x)g(x)?3，q(x)?3，求证：

h(x)?3p(12201220131220122013)?p()???p()?p()?q()?q()???q()?q() 20142014201420142014201420142014（3）若f(x)?g(x?1)?a是实数集R上的奇函数，且f(h(x)?1)?f(2?k?g(x))?0对任

g(x)?b意

实数x恒成立，求实数k的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分8分

* 设各项都是正整数的无穷数列?an?满足：对任意n?N，有an?an?1．记bn?aan． （1）若数列?an?是首项a1?1，公比q?2的等比数列，求数列?bn?的通项公式； （2）若bn?3n，证明：a1?2；

（3）若数列?an?的首项a1?1，cn?aan?1，?cn?是公差为1的等差数列．记dn??2n?an， Sn?d1?d2???dn?1?dn，问：使Sn?n?2n?1?50成立的最小正整数n是否存在？并说明理由 ．

试卷解答

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