2015.05.04《反比例函数》学案

北京市第十三中学分校 2015.05

第二十六章 《反比例函数》学案

§26.1.1反比例函数的概念、确定反比例函数的解析式

k

(k≠0)可以写成y?kx?1 (k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1； xk

2．y? (k≠0)也可以写成xy=k(k≠0)的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中

x

1．y?

的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数y?

k

(k≠0)的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点． x

4．在解决有关自变量系数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件． [例1]

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）

A. y=3x B. y?1?2．若y与

11 C. 3xy=1 D. y?

x?2x11成反比例，x与成正比例，则y是z的（ ） xz A. 正比例函数 B. 反比例函数

C. 一次函数 D. 不能确定

5?5????5???，C(?5，5)，B??3，?1)，D??2，?，E?3，?，3. 平面直角坐标系中有六个点A(1，3?2????3??5?F?，2?，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是2??（ ） A．点C B．点D C．点E D．点F

[例2]如果函数y?(k?2)xk2?2k?1的图象是双曲线，那么k= ．

注：此类问题要同时考虑两个条件，①比例系数；②自变量的指数． [例3] 某反比例函数的图象经过点(-2,3)，则此函数图象也经过点（ ） A．(2,-3) [例4]

1.如图, 已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?b(k≠0)的图象与反比例函数

B．(-3,-3)

C．（2，3）

D．（-4，6）

m1(m≠0)的图象相交于A、B两点，且点B的纵坐标为?，过点A作AC⊥x轴x2y于点C， AC=1,OC=2. y?求：（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式.

ABO-12Cx1题图 1

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2.点P(1，a)在反比例函数y?k的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y?2x?4x的图象上，求此反比例函数的解析式。

2

3．已知：y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝-1时，

y＝1. 求x＝-1时，y的值．

2 §26.1.2反比例函数的图象和性质

1．注意与正比例函数的性质进行对比． 函数解析式 自变量的 取值范围 图 象 正比例函数 y=kx (k≠0) 全体实数 直线，经过原点 反比例函数 y?x≠0 双曲线，与坐标轴没有交点 k(k≠0) x性 质 ⑴当k＞0时，图象的两支分别位于⑴当k＞0时，图象经过第一、第三第一、第三象限； 象限； 当k＜0时，图象的两支分别位于当k＜0时，图象经过第二、第四第二、第四象限. 象限. ⑵当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小； ⑵当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，在每个象限内y随x当k＜0时，y随x的增大而减小. 的增大而增大. ⑶k越大，图象越靠近y轴. ⑶图像向左、向右、无限靠近x轴，向上、向下无限靠近y轴，但不 能相交. 注：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，

不能一概而论．

2

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2．反比例函数的其它性质

(1)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．

k(k?0)的图象是轴对称图形，对称轴为y?x和y??x两条直线； xk②y?(k?0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

xkk③y?和y??(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．

xx①y?

y y=x O x O x y=-x O x y y k注：正比例函数y?k1x与反比例函数y?2， x当k1?k2?0时，两图象必有两个交点， 当k1?k2?0时，两图象没有交点； 且这两个交点关于原点成中心对称．

(2)反比例函数y?yA yOxB Oxk中比例系数k的几何意义． xk①过双曲线y?(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段， x所得矩形(如图)的面积为k． k②过双曲线y?(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段， xk连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为yPBOACQx2． ③双曲线y?k(k≠0) 上任意两点P1、P2与原点组成的 x 三角形（如图）的面积为：直角梯形P1P2Q2Q1的面积． [例1]

1．如果函数y?(k?1)xk2?k?3是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，那么k= ． 是反比例函数，且在每一象限内y随x的增大而减小，那么2．如果函数y?(k?1)xkk= ． [例2]

2?k?31．已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y?限．

3

ab的图象位于第 象x 北京市第十三中学分校 2015.05

2．已知反比例函数y?k当x?0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y?kx?k ?k?0?，

x的图象经过（ ）

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 3．已知a·b?0，点P（a，b）在反比例函数y?

a

的图象上，则直线y?ax?b不经过的象x

限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．已知函数y=k (x-1)和y?? xxxxOOOO

D ABC注：①同一道题中的相同字母代表同一个值；

②根据其中一个函数的特点，确定待定系数的符号，再根据待定系数的符号确定另一个函数图象的位置，是解此类问题的重要方法． [例3]

1．在反比例函数y?yk (k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） xyyyk?k?0?的图象上有两点A?x1,y1?，B?x2,y2?，且x1?x2?0，则xy1?y2 的值为（ ）

A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数

?a2?1112．在函数y?（a为常数）的图象上有三个点(?1,y1)，(?,y2)，(,y3)，则函

x42数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A.y2

3．在函数y?

k

(k>0)的图象上有三点A1 (x1，y1)，A2 (x2，y2)，A3 ( x3，y3)，已知x1 < x2 < 0 < x

x3，则下列各式中正确的是（ ）

A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y2 < y1 C. y2 < y1< y3 D. y3 < y1 < y2

4．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y?k（k?0）图象上的两点，且

x

x1＜0＜x2，则有（ ）

A．y1?0?y2 B．y2?0?y1

C．y1?y2?0

D．y2?y1?0

5．下列四个函数中：①y?5x；②y??5x；③y?

55；④y??. y随x的增大而减小的xx函数有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

注:①反比例函数增减性问题可利用图象解决,数形结合,直观明了. ②反比例函数的增减性注意是每一支双曲线上的增减性．

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