Matlab笔记 - 数值计算—概率篇017

2. 期望和方差 (1)样本数据

1nmean(X)——样本均值x??xi

ni?11n(xi?x)2 var(X)或var(X,0)——样本方差S=?n?1i?121nvar(X,1)——方差D??(xi?x)2

ni?1std(X)或std(X,0)——样本标准差S std(X,1)——标准差D (2) 常见分布的期望和方差 通用格式：

[E,D]=分布名缩写+stat(分布参数)

返回E为期望，D为方差；例如，[E,D]=normstat(MU,SIGMA)

(3) 已知离散型随机变量的分布律，求期望和方差 例5设离散型随机变量X服从如下分布：

X P -2 0.3 -1 0.1 0 0.2 1 0.1 2 0.3 求E(X), E(X2-1), D(X).

代码：

X=[-2 -1 0 1 2];

p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) % 或 EX=X*p’ Y=X.^2-1;

EY=sum(Y.*p) XX=X.^2;

EXX=sum(XX.*p); DX=EXX-EX^2

运行结果：EX = 0EY = 1.6000DX = 2.6000

3. 极差、偏度、峰度

极差，数据的最大值与最小值之差。代码：range(X)

偏度，是数据关于均值不对称的指标。若偏度为负，说明均值左边的数据比右边的数据更散；若偏度为正，说明均值右边的数据比左边的数据更散，正态分布的偏度为0. 代码：skewness(X)

峰度，是用来反映数据的分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。代码：kurtosis(X)

4. 矩

k阶中心矩——m=moment(X, k)

k阶原点矩——可以使用下面自编的OriginMoment.m

function y=OriginMoment(X,k); % X为样本矩阵

[n,m]=size(X); y=zeros(1,m); for ii=1:m;

y(ii)=sum(X(:,ii).^k)/n; end

5. 协方差（矩阵）、相关系数（矩阵） 对于样本数据矩阵：

?x11?xX??21???x?m1x12x22?xm2?x1n??x2n????X1????xmn??m?nX2?Xn?

Matlab将矩阵X的每一列Xj, j=1,…,n作为一个随机变量的样本，每一行[xj1,xj2, …, xjn], j=1,2,...,m作为n个随机变量的联合分布的一个样本。

由于矩阵X给出的只是随机变量的样本数据，并不知道这些随机变量的（联合）概率分布，因此是不能计算出这些随机变量的总体期望、方差或协方差的，而只能计算出它们的一个无偏估计，即样本均值、样本方差与样本协方差。

样本协方差公式：

1nCOV(X,Y)?(xi?x)(yi?y) ?n?1i?1?c11c12?cc2221???????c?n1cn2?c1n??c2n??, 其中c?COV(X,X)

ijij????cnn??n?n称为随机变量X1, …, Xn的协方差矩阵（实对称、非负定）。

协方差矩阵是一维随机变量方差、二维随机向量协方差向高维随机向量的推广，常应用于在主成分分析中。

相关系数（矩阵）是协方差（矩阵）的标准化，反映了随机变量两两之间的线性关系的强弱程度。

代码：cov(X)——返回样本矩阵X的协方差矩阵； corrcoef(X)——返回样本矩阵X的相关系数矩阵；

例6随机生成样本数据矩阵X，计算X的协方差矩阵、相关系数矩阵。

代码：

M = 5; N = 3;

X = 10.*rand(M, N) CovX = cov(X)

Cov12 = cov(X(:,1),X(:,2)) Cov11 = cov(X(:,1),X(:,1)) var(X(:,1))

RhoX = corrcoef(X)

运行结果：

X = 1.0665 8.6869 4.3141 9.6190 0.8444 9.1065 0.0463 3.9978 1.8185 7.7491 2.5987 2.6380 8.1730 8.0007 1.4554 CovX = 19.6061 -6.3812 5.3900 -6.3812 11.6214 -5.5894 5.3900 -5.5894 9.7937 Cov12 = 19.6061 -6.3812 -6.3812 11.6214 Cov11 = 19.6061 19.6061 19.6061 19.6061 VarX1 = 19.6061

RhoX = 1.0000 -0.4227 0.3890