2014年六年级数学思维训练：计数综合四

当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；

当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；

当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法； …

当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；

共有：18+17+16+…+1=171（种）．

（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法． 【解答】解：18+17+16+…+1=171（种） 20+1=21（种）

答：每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．

16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？

【分析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．

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【解答】解：2=512（块）； 答：一共有512种不同的吃法．

17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？ 【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：

当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况， …

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况， 由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．

【解答】解：赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票： 当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况， 当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况， …

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况， 由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）

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答：共有71395种可能的三种票数的统计情况．

18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？ 【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．

【解答】解：7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”， 共有

=

=56（种）

答：有56种不同的选法．

19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？ 【分析】考虑两种方法：

①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；

②利用插空法解决：相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有

=715种．

【解答】解：方法一： 四盘都一样：10， 三盘一样：10×9=90，

两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，

两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360， 没有两盘一样的，

=210，

最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）． 方法二：

让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有

=715种．

答：共有715种选菜方案．

20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？ 【分析】也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20×

×

种方法；

（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有

×

种．

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【解答】解：（1）20××

=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1 =604800（种）

答：3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法； （2）

×

=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1

=30240（种）

答：如果站成一圈共有30240种排列方法．

21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．） 【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况． 【解答】解：2310=2×3×5×7×11，

根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，

第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况． 答：这样的长方体有25个．

22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？

【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果． 【解答】解：首先涂法可分两类：用3种颜色和用4种颜色； 用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4， 每相对的2个面颜色相同，

先涂1个面3种情况，涂对面1种情况， 涂邻面2种情况涂邻面的对面， 涂剩下的2个面1种，

此步情况数N=4×3×2=24（种）

当使用四种颜色，6个面4个颜色：

相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色 换成剩下的那个颜色有24×3=72（种） 所以，总情况数24+72=96（种） 答：共有96种不同的染色方法．

三．超越篇

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23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？

【分析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案． 【解答】解：按两个红球间隔白球的数量分类

用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：

最多间隔4个白球的有4种不同规格：

类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格． 最多间隔7个白球的有1种规格． 所以，共有不同规格： 2+4+3+2+1=12（种）；

答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．

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