高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

例10. 求函数f(x)?ax?1的定义域。

解：若a?0，则x∈R； 若a?0，则x??； 若a?0，则x??； 故所求函数的定义域：

当a?0时为R，当a?0时为?x|x???，当a?0时为?x|x???。

说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。

考点三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法

1a1a??1?a???1?a?y?例11. 求函数

2x?3x?1的值域。

2x?32?x?1??111y???2??0x?1x?1x?1x?1解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配方法

例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。

解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。

3、判别式法

x2?2x?3例13. 求函数y?的值域。 24x?5x?6x2?2x?3y?24x?5x?6可变形为：解：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：

?26?6326?63?y??,?7171??。

说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法 例14. 求函数y??2?3，x∈［4，5］的值域。 x?2513?3x为增函数，故当x＝4时，ymin＝2；当x＝5时，ymax＝5，所以函数的值域为

y?解：由于函数

?513?,???25?。

5、换元法

例15. 求函数y?2x?41?x的值域。

解：令t?1?x?0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

?x,x?[1,2]?2例16. 求函数y??x,x?(2,3]的值域。

?2x?1,x?(3,4]?解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈(2，3］时，y∈(4，9］；当x∈(3，4］时，y∈(5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪(3，9］。 7、图像法：

2??x,x≥2,例17设f(x)＝?若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域是 ( )

??x,x<1,A.(－∞，－1]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0，＋∞) C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)

解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，

若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞). 故选B.

8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

1?2x例18求函数y?的值域。

1?2x1?y1?2xx2?解：由y?解得，

1?y1?2x∵2?0，∴

x1?y?0，∴?1?y?1 1?y1?2x∴函数y?的值域为y?(?1,1)。

1?2x9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

x2?1例19：求函数y?2的值域。

x?1

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得(y?1)x??(y?1)，

22∵y?1，∴x??y?1（x?R，y?1）， y?1∴?y?1?0，∴?1?y?1， y?1x2?1∴函数y?2的值域为{y|?1?y?1}

x?1