函数极限与连续

第三节 函数极限与连续

一、 函数极限内容网络图

二、内容与要求

1. 理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.

2. 掌握函数极限的性质及四则运算法则

3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 5. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.

重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）

难点 函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限.

三、概念、定理的理解与典型错误分析

1．函数极限的概念

定义1.10

。

定义1.11 定义1.12 定理1.4

把1中“把1中“

”换成“”换成“且

”。 ”。

定义1.13 设在的某空心邻域内

。

有定义，若存在一个常数A，

，都有

定义1.14 A，

设在的某左半邻域

。

内有定义，若存在一个常数

时，都有

此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成

定义1.15

，当

设

在

的某右半邻域时，都有

内有定义，若存在一个常数。此时也可用

或

表示右极限定理 1.5

。因此可写成

且

。

该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。

的左右

定义1.16称

时，

是无穷大量。

时，都有。此时

而只要把上式中“

，只要把公式中“”改成“

”改成“”。

”，，

定义1.17 读者同理可给出

。当时，都有定义。

。

注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数

极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。

定义1.18 是

。

。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以

定理1.6 其中

。

。

定义1.19 若是有界量。

时，都有，称时

2．无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系

定义1.20 设（这里

可以是常数，也可以是

，

，以后我们不指出都是指的这个意思）

（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作

。

（2）若，称时是的同价无穷小量。

（3）若，称时是的等价无穷小量，记作

，此时（2）式也可记作。

（4）若无穷小量。

，称时是的k阶

由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入

若如果穷大量；如果

。记作，

均是无穷大量，称为等价无

均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果

既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。

例如

注：A不能为零，若A=0，无穷小量的性质：

，则

不可能和0等价。

。

性质1.8 若均为无穷小量，则