2016年江苏省高考数学试卷(高考真题)

∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F?平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F，

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F?平面A1C1F， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．

17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． （1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积； （2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=

m，A1B1=

?

m，代入体积

公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．

【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． ∴O1O=8m，

∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3， （2）若正四棱锥的侧棱长为6m，

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设PO1=xm， 则O1O=4xm，A1O1=则仓库的容积V=×（＜x＜6），

∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6）， 当0＜x＜2当2

时，V′＞0，V（x）单调递增；

?

m，A1B1=

?

?m，

）2?4x=

x3+312x，（0

）2?x+（

＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；

时，V（x）取最大值； m时，仓库的容积最大．

故当x=2即当PO1=2

【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得t的取值范围．

+

=

，求实数

【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程． （2）由题意得OA=2

，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=

，

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由此能求出直线l的方程． （3）

=

，即|

|=，2+2

，又|]，欲使

|≤10，得t∈[2﹣2

，2+2

]，

对于任意t∈[2﹣2圆心到直线的距离为

，只需要作直线TA的平行线，使

，由此能求出实数t的取值范围．

【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），

∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，

又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）2+（x﹣7）

2=25，

∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，

∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1． （2）由题意得OA=2

，kOA=2，设l：y=2x+b，

=

，

则圆心M到直线l的距离：d=

则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，

解得b=5或b=﹣15，

∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15． （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∵A（2，4），T（t，0），∴

，①

，

∵点Q在圆M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25，② 将①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，

∴点P（x1，y1）即在圆M上，又在圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25上， 从而圆（x﹣6）2+（y﹣7）2=25与圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25有公共点， ∴5﹣5≤解得2﹣2

≤5+5．

≤t

，

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∴实数t的取值范围是[2﹣2，2+2]．

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

19．（16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=． ①求方程f（x）=2的根；

②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值； （2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值． 【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．

（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=

+

，

求出g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．

【解答】解：函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=． ①方程f（x）=2；即：

=2，可得x=0．

≥m（

）﹣6恒成立．

②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即令t=

，t≥2．

不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或

即：m2﹣16≤0或m≤4， ∴m∈（﹣∞，4]． 实数m的最大值为：4．

（2）g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，

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