2016年江苏省高考数学试卷(高考真题)

故z的取值范围是[，13]， 故答案为：[，13]．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．

13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?

=4，

?

=﹣1，则

?

的值是

．

【分析】由已知可得=

+2

，

=﹣

=+2

+，=﹣+，

2=

=，

+3

2=

，=﹣+3，

，结合已知求出，可得答案．

【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ∴=∴?∴又∵

=++3

，，

2﹣2﹣

=﹣=﹣

++3

， ，

?==9

2=﹣1， 2=4，

2=，=

+2

2=， ，

=﹣

+2

，

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∴?=42﹣

2=，

故答案为：

【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．

14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 8 ．

【分析】结合三角形关系和式子

sinA=2sinBsinC

可推出

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．

【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①

由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC， 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣则tanAtanBtanC=﹣

?tanBtanC，

，

②，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣

令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣

=（

=﹣

，

＜0，

）2﹣，由t＞1得，﹣≤

因此tanAtanBtanC的最小值为8，

另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC， sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，

两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC， ∵﹣tanA=tan（B十C）=

，

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∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC， ∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2令tanAtanBtanC=x＞0， 即x≥2

，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．

，

当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+均为锐角．

【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．

二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长； （2）求cos（A﹣

）的值．

．

，tanC=2﹣

，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C

【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；

（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=， ∴sinB=， ∵

，

）的值．

∴AB==5；

（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣∵A为三角形的内角， ∴sinA=∴cos（A﹣

， ）=

cosA+sinA=

．

．

【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

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16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1； （2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．

【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1，

∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F；

（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1，

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