2012年全国中考数学（附答案）压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题 2

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编

专题9：几何综合问题

24. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF，BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=

513，求⊙O的半径．

【答案】解：（1）证明：连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。 又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。 ∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。 ∴BC是⊙O的切线。 （2）连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA， ∴△OAF是等边三角形。 ∴∠AOF=60°。 ∴∠ABF=

12∠AOF=30°。 （3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG=

12BE=5。 易证Rt△ADE∽Rt△CGE，

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5， 13EG5∴CE?==13。

sin?ECG513∴sin∠ECG=sin∠A=

∴CG?CE2?EG2?132?52?12。 又∵CD=15，CE=13，∴DE=2， 由Rt△ADE∽Rt△CGE得∴⊙O的半径为2AD=

ADDEAD224，即??，解得AD?。

CGGE125548。 5【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。

（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同

弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=

1BE=5，由2Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。

25. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN． （1）如图l，求证：PC=AN；

（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．

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【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。 ∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。

∴△AQP≌△MNA（ASA）。

∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。 ∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°

∴∠ABM=∠PBC。

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。 （2）∵NP=2 PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。

∴AM=AP=5。∴AQ?MN?AM2?AN2?4。

∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。 ∴tan?ABC?tan?MAN?∵tan?ABC?，

∠AMB+∠ABM=90°

，

MN 4?。 AN3AC，∴BC=6。 BCNENP。 ?CKPC∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。

又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。 ∴

NE24?，NE?k。 2k33434353过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。 ∴NE=TF=k，∴CT=CF－TF=3k－k=k。 ∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。 ∴∠BPC=∠BFH。

∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

BC?2。 PCNC15∴tan?NTC??2，CT?NC=。

CT225533∴CT=k= 。∴k= 。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。

2322∴tan?NTC?tan?BPC?∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。

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∴tan?PKC?PC?1。∴tan∠BDK=1。 KC过K作KG⊥BD于G。

4，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。 3321∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。

55∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=

∵AB?AC2?BC2?10，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。 ∴DQ=BQ－BD=6－

219=。 55【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。

（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。

26. （2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E． （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形； （3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求

FG的值． FC

【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°。∴∠ABC+∠BAC=90°。

又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。

∴OB⊥BD。

∴BD为⊙O的切线。

（2）证明：如图，连接CE、OC，BE，

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