海淀区2016高三年级第一学期期末考试文科数学带详细答案

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19．解：（Ⅰ）函数f(x)?1??). ……………………….1分 ?klnx的定义域为(0，x1k?. ……………………….3分 2xx11x?1当k?1时，f'(x)??2??2,

xxxf'(x)??令f'(x)?0，得x?1，…………………………….4分 所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：…………….6分

x f'(x) (0,1) 1 0 极小值 (1,??) ? ? ? ? f(x) 所以f(x)在x?1处取得极小值f(1)?1, 无极大值.…………………………….7分

f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,??). …………………………….8分

（Ⅱ）因为关于x的方程f(x)?k有解,

令g(x)?f(x)?k，则问题等价于函数g(x)存在零点, ………………………….9分

1kkx?1??2. …………………………….10分 x2xx1令g'(x)?0，得x?.

k所以g'(x)??当k?0时，g'(x)?0对(0,??)成立，函数g(x)在(0,??)上单调递减， 而g(1)?1?k?0，g(e1?1k)?1e1?1k111?k(1?)?k?1?1??1?0，

1?keek所以函数g(x)存在零点.…………………………….11分 当k?0时，g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：

x g'(x) g(x) 1k1(0,) k? ↘ 1 k 0 极小值 1(,??) k + ↗ 所以g()?k?k?kln1??klnk为函数g(x)的最小值, k1k11当g()?0时，即k?1时，注意到g(e)??k?k?0, 所以函数g(x)存在零点.

ke当g()?0时，即0?k?1时，函数g(x)没有零点,

综上，当k?0或k?1时，关于x的方程f(x)?k有解.…………………………….13分

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法二：

因为关于x的方程f(x)?k有解，所以问题等价于方程1?kx(lnx?1)?0有解，……….9分 令g(x)?kx(lnx?1)?1，所以g'(x)?klnx,…………………………….10分 令g'(x)?0，得x?1

当k?0时，g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：

↘ 所以函数g(x)在x?1处取得最大值，而g(1)?k(?1)?1?0.

11?1kg(e)?1?ke(1??1)?1?e?0，所以函数g(x)存在零点.…………………………….11分

k当k?0时，g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：

(1,??) (0,1) x 1 1?1?1k1kx g'(x) g(x) (0,1) ? ↗ 1 0 极大值 (1,??) ? g'(x) g(x) ? ↘ 0 极小值 ? ↗ 所以函数g(x)在x?1处取得最小值，而g(1)?k(?1)?1?1?k. 当g(1)?k(?1)?1?1?k?0时，即0?k?1时，函数g(x)不存在零点. 当g(1)?k(?1)?1?1?k?0，即k?1时，g(e)?ke(lne?1)?1?1?0

所以函数g(x)存在零点 .…………………………….13分 综上，当k?0或k?1时，关于x的方程f(x)?k有解. 法三：因为关于x的方程f(x)?k有解， 所以问题等价于方程

1?x(1?lnx)有解， …………………………….9分 k设函数g(x)?x(1?lnx)，所以g'(x)??lnx. …………………………….10分 令g'(x)?0，得x?1，

g'(x),g(x)随x的变化情况如下表：

x g'(x) g(x) (0,1) ? ↗ 1 0 极大值 (1,??) ? ↘ 所以函数g(x)在x?1处取得最大值，而g(1)?1，…………………………….11分

又当x?1时，1?lnx?0, 所以x(1?lnx)?1?lnx, 所以函数g(x)的值域为(??,1], 12分 所以当?(??,1]时，关于x的方程f(x)?k有解，所以k?(??,0)?[1,??).……….13分

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20. 解：（Ⅰ）

22因为椭圆W的左顶点A在圆O:x?y?16上，所以a?4.…………………………….1分

又离心率为3c3，所以e??，所以c?23, ……………………….2分 2a2所以b2?a2?c2?4 ,…………………………….3分

x2y2??1. …………………………….4分 所以W的方程为

164（Ⅱ）（i）

法一：设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，显然直线AP存在斜率，

设直线AP的方程为y?k(x?4)， …………………………….5分

?y?k(x?4)?, 与椭圆方程联立得?x2y2??1?164?2222化简得到(1?4k)x?32kx?64k?16?0，…………………………….6分

?32k2因为?4为上面方程的一个根，所以x1?(?4)?1?4k24?1k26.…………………………….7分 x1?21?4k由|AP|?1?k2|x1?(?4)|?，所以

82，…………………………….8分 5281?k82，解得k??1, …………………………….9分

代入得到|AP|??1?4k25所以直线AP的斜率为1,?1. （ii）因为圆心到直线AP的距离为d?所

|4k|k2?1，…………………………….10分

以

|A分 因为

?211?k21?k2Q|. …………………………….11?6|PQ||AQ|?|AP||AQ|???1，…………………………….12分 |AP||AP||AP|代入得到

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82|PQ|1?4k23k231?k??1??1??3?. …………………………….13分 22|AP|81?k21?k1?k1?k21?4k2显然3?|PQ|3?3. …………………………….14分 ，所以不存在直线，使得?3AP2|AP|1?k法二：（i）设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，显然直线AP存在斜率且不为0， 设直线AP的方程为x?my?4，…………………………….5分

?x?my?4?, 与椭圆方程联立得?x2y2??1?164?22化简得到(m?4)y?8my?0, …………………………….6分

显然?4上面方程的一个根，所以另一个根，即y1?由|AP|?1?m2|y1?0|?8m, …………………………….7分 2m?482，…………………………….8分 58|m|82代入得到|AP|?1?m22，解得m??1. …………………………….9分 ?m?45所以直线AP的斜率为1,?1

（ii）因为圆心到直线AP的距离为d?|4|1?m2，…………………………….10分

16m28|m|. …………………………….11分 所以|AQ|?216?d?2?21?m21?m2因为

|PQ||AQ|?|AP||AQ|???1，…………………………….12分 |AP||AP||AP|代入得到

8|m|2|PQ|m2?431?m. …………………………….13分 ??1??1?228|m||AP|1?m1?m1?m22m?4若

3?3，则m?0，与直线AP存在斜率矛盾， 1?m2|PQ|?3. …………………………….14分 所以不存在直线AP，使得

|AP|

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