6.6解斜三角形（教师）

[松江二中2010届高三数学第一轮复习资料]

6.5 解斜三角形

【复习要求】

1、会运用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等三角知识解斜三角形 2、会运用正弦定理、余弦定理及三角变换公式判断三角形形状 3、能把解斜三角形的知识应用于去解决简单的实际问题。 【知识要点】

在?ABC中，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p?1、正弦定理：

12(a?b?c)

abc???2R sinAsinBsinC2222、余弦定理：c?a?b?2abcosC，cosC?3、面积公式：S?12aha?1absinC?( abc )4Ra2sinAa?b?c2ab222

4、a?2RsinA；sinA?【基础训练】

2a?r?p

2R；R?

1、已知?ABC中，a?3，b?2，sinB?33，那么角A等于

?3或2?3

2、?ABC中，sinA:sinB:sinC?2:3:4，则?ABC?arccos3、若?ABC的面积和外接圆半径都是1，则sinAsinBsinC?4．在?ABC中，a?4，b?5，S?53，则c?01116（用反三角表示）

12

21或61 5、满足条件：a?4，b?32，?A?45的三角形?ABC的个数是 2 个 6、在?ABC中，知?A?60，b?1，S?ABC?7、在?ABC中，命题P：

asinB?bsinC?csinA03，则a?b?csinA?sinB?sinC?2393

，命题Q：?ABC是等边三角形，则命

题P是命题Q的 充要 条件

8、某钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最长边与最短边之比为m，则m的取值范

围是m?2 【典型例题】 1、在?ABC中，已知

acosA?bcosB?ccosC?4，求?ABC的面积 答案：3

2、在?ABC中，已知a，b，c成等比数列，且a?c?ac?bc，求?A和 答案：A??322bsinBc。

，

bsinBc?32 2233、在锐角?ABC中，a?2，sinA? 答案：3 ，面积S?2，求边b的值。

4、在?ABC中，已知a?5、b?7、c?9，求：（1）?A的平分线ta （2）BA边上的

中线mc （3）内切圆半径r 解： cosA?b?c?a2222bc611A（1） ∵ S??bcsinA?(b?c)tasin

2222bcb?ccosA2?2bcb?c21?cosA267?213316?5

∴ ta? （2）mc? c2c2()?b?2bcosA?22

12bcsinA?r?p

（3）∵ cosA?∴ r?56 ∴ sinA??1120116 ∴ S??bcsinA2p

5、隔河可到两个目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距3公里的C、D两点，并测得?ACB?75，?BCD?45，?ADC?30，?ADB?45（A、B、C、D在同一平面），求两个目标A、B之间的距离。

0 解：如图，在?ACD中，?DAC?30，

AC?CD?3 0000 在?BCD中，?CBD?60， 由正弦定理得：BC?203sin75sin60202?6?22

又由余弦定理得：AB?AC?BC?2AC?BCcos?BCA?5 AB?5 所以，两地之间的距离为5公里。

6、在?ABC中，若acosA?bcosB?ccosC，判断三角形形状。

解法一：（以角化边） 可化为：a?b?c或a?c?b ，所以直角三角形

222222解法二：（以边化角） 可化为?A?

【学后反思】

【巩固练习】 一、填空题

?2或?B??2，所以直角三角形

1、已知：?ABC的顶点A(?4,0)，顶点C(4,0)，顶点B在椭圆

sinA?sinCsinB?54x225?y29?1上，则

?2a?cb2、在?ABC中，若

cosCcosB，则角?B??3。

3、?ABC的三个内角A,B,C成等差数列，a?4，c?1，则BC边上中线AD? 3 4、?ABC中，a:b:c?(3?1):2:2，则最小内角的度数是 15

05、在?ABC中，a，已知c?c分别为角A、B、C的对边，b、

tanA?tanB?3tanAtanB?3，则a?b?11272，?ABC面积S?332，

6、设?,?是一个钝角三角形的两个锐角，有：

（1）tan?tan??1 （2）sin??sin??（3）cos??cos??1 （4）

122 tan(???)?tan???2

上述四个结论中，正确的结论序号有 （1）（2）（3） 二、选择题

?????3????1????7、点M是?ABC所在平面内一点，且AM?AB?AC，则S?ABM:S?ABC?（ A ）

441113A、

4 B、

?43 C、

?4)?222 D、

4

8、在?ABC中，sin(B?)?sin(B?，且边a,b,c成等比数列，

则?ABC形状是 （ B ） A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 三、解答题

9、已知?ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?（1）求边AB的长；

2sinC，

（2）若?ABC的面积为sinC，求?C的度数。

61答案：（1）1 ； （2）60

【能力拓展】

在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的西DD处，问此时船距岛A有多远？

0PC北B东A解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=3 (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

?BC?30316AC233 (千米)

?AB2?(33)?(3)22?303

??230(千米/时)(2)∠DAC=90°－60°=30°

sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=

ABBC?31010

31010

sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°?32?12?1?(31010)2?(33?1)1020AD?

，

在△ACD中，据正弦定理得∴AD?ACsinCDAsinDCAAC?sinDCAsinCDA?9?1333

答 此时船距岛A为

9?13千米