2018届高三数学（理）二轮复习专题集训：专题八 选修系列8.1 含解析

A级

1??x＝1＋2t1．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l的参数方程为?(t为参

??y＝3＋3t数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin θ－3ρcos2θ＝0.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标． 解析： (1)∵sin θ－3ρcos2θ＝0， ∴ρsin θ－3ρ2cos2θ＝0， 即y－3x2＝0.

1??x＝1＋2t，

(2)将?代入y－3x2＝0得，

??y＝3＋3t1

1＋t?2＝0， 3＋3t－3??2?即t＝0，

从而，交点坐标为(1，3)， π

2，?. ∴交点的一个极坐标为??3?π

α≠?的直2．(2017·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α??2???x＝1＋tcos α，

线l的参数方程为?(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，

?y＝tsin α?

建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

π

1，?，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B(2)已知点P(1,0)，若点M的极坐标为??2?两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

??x＝1＋tcos α，

解析： (1)∵直线l的参数方程为?(t为参数)，

?y＝tsin α?

∴直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．

由ρcos2θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，即x2－4y＝0. ∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.

π

1，?，∴点M的直角坐标为(0,1)， (2)∵点M的极坐标为??2?3π

∴tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝.

4

?x＝1－22t，

∴直线l的参数方程为?

2y＝?2t代入x2＝4y，得t2－62t＋2＝0.

(t为参数)．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2. ∵Q为线段AB的中点，

t1＋t262

∴点Q对应的参数值为＝＝32.

22又点P(1,0)，则|PQ|＝?

t1＋t2?

?2?＝32.

??x＝2cos φ，

3．已知曲线C1的参数方程是?(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正

?y＝3sin φ?

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，π

2，?. 且A，B，C，D依逆时针次序排列，其中点A的极坐标为??3?(1)求点A，B，C，D的直角坐标；

(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．

π?5π??4π??11π?2，?，解析： (1)由题可知点A，B，C，D的极坐标分别为??3??2，6?，?2，3?，?2，6?. 所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1，3)，(－3，1)，(－1，－3)，(3，－1)．

?x0＝2cos φ，?

(2)设P(x0，y0)则?(φ为参数)，

?y＝3sin φ?0

22

t＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2＝4x20＋4y0＋16＝32＋20sinφ∈[32,52]．

4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

π

2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． (2)设点A的极坐标为??3?解析： (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝

4

. cos θ

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，

1

于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB

2

?sin?α－π?? ＝4cos α·??3??

π3

＝2?sin?2α－?－?≤2＋3.

3?2???π

当α＝－时，S取得最大值2＋3.

12所以△OAB面积的最大值为2＋3.

5．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.

(1)写出Γ的参数方程；

(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解析： (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，

??x＝2x1

依题意，得?

??y＝3y1

?x＝2

，即?y

y＝?3

11

x

.

由2

x21＋y1＝1

x?2?y?2xy

得?＋＝1.即曲线Γ的方程为＋＝1. ?2??3?49

2

2

2??x＝2cos t

故Γ的参数方程为?(t为参数)．

?y＝3sin t?

xy????4＋9＝1?x＝2?x＝0

?(2)由?，解得，或?. ??y＝0y＝3????3x＋2y－6＝0

22

3

1，?， 不妨设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为??2?2

所求直线的斜率k＝. 3

32

于是所求直线方程为y－＝(x－1)，

23即4x－6y＋5＝0.

化为极坐标方程，得4ρcos θ－6ρsin θ＋5＝0.

?x＝m＋22t，

6．(2017·福州市综合质量检测)已知直线l的参数方程为?

2y＝?2t

3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．

(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值； (2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值． 解析： (1)将曲线C的极坐标方程

ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12

(t为参数)，

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋

x2y2化为直角坐标方程，得＋124

＝1，则其左焦点F(－22，0)，则m＝－22.

?x＝m＋22t，

将直线l的参数方程?

2y＝?2t化简可得t2－2t－2＝0，

由直线l的参数方程的几何意义， 令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|， 则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝2.

x2y2

(t为参数)与曲线C的方程＋＝1联立，

124

x2y2

(2)由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(23cos θ，2sin

124π0<θ

则以P为顶点的内接矩形的周长为 π

θ＋?， 4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ??3?

π

因此当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.

6

B级

??x＝3cos α

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(α为参数)，在以原点

?y＝sin α?

π

θ－?＝2. 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin??4?(1)求C的普通方程和l的倾斜角；

(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.

?x＝3cos α?x22

解析： (1)由?消去参数α，得＋y＝1，

9?y＝sin α?