2018年高考数学江苏专版专题复习：6个解答题综合仿真练(三)含解析

6个解答题综合仿真练(三) 1．已知向量m＝(

3cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)．

π

(1)当x＝时，求m·n的值；

3

π?31?0，?(2)若x∈?n＝－，求cos 2x的值． 4?，且m·?32?3??31?

????

解：(1)当x＝时，m＝?，－1?，n＝?，?，

34??2??2

π

所以m·n＝－＝. 442

π?111?2x－?－， 3cos xsin x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin?6??2222

3

3

13

1

1

(2)m·n＝

π?131?

2x－?－＝若m·n＝－，则sin?－， 6??23232π?3?

2x－?＝即sin?， 6??3

π??πππ因为x∈?0，4?，所以－≤2x－≤，

??663π?6?2x－?＝所以cos?， 6??3

π????π?π?π6??π??2x－?＋π?2x－2x－?×cos－sin??sin＝则cos 2x＝cos?6?6?＝cos?66?????663??32

3

1

3

2－6

3

×－×＝32

.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E

在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.

(1)求证：AB∥EF；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF. 证明：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又因为AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC.

又因为AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF.

(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD.

又AF?平面PAD，所以AB⊥AF. 又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.

3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点

E处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.

(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域； (2)求时间T最短时cos θ的值．

解：(1)如图，过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，

EFθ

OF＝＝，EF＝1＋，AE＝θ，所以T(θ)＝＋＝＋

sin θsin θsin θ5v6v5v?π3π?

??

＋，θ∈?，?.

6vsin θ6v?44?1

1

?π3π?

??

(2)由(1)知，T(θ)＝＋＋，θ∈?，?，

5v6vsin θ6v?44?

θ

1

1

6sin2 θ－5cos θ

T′(θ)＝－＝

5v6vsin2θ30vsin2 θ?2cos θ＋3??3cos θ－2?

＝－，

30vsin2 θ?π3π?2??

记cos θ0＝，θ0∈?，?，

3?44?

则T(θ)，T′(θ)随θ的变化情况如表所示：

?π?，θ0?? 4??－ θ0 ?3π???θ， 0??4??＋ 1

cos θ

OG11

AE

θ T′(θ) T(θ) 0 极小值 2

故当cos θ＝时，时间T最短．

3

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：x2y2

＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)8b2

作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．

(1)求椭圆C的标准方程；