算法设计与分析（第2版） 王红梅 胡明 习题答案

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习题1

1.

图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述北区 的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼

东区 斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岛区 岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每

南区 座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河

图1.7七桥问题

上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题

的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点 1，一次步行 2，经过七座桥，且每次只经历过一次 3，回到起点 该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n

2.循环直到r=0 2.1??m=n 2.2???n=r 2.3??r=m-n 3?输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法 //对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差 #include usingnamespacestd; intpartions(intb[],intlow,inthigh) {

intprvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while(low

while(low=prvotkey) --high;

b[low]=b[high];

while(low

b[high]=b[low]; }

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b[low]=b[0]; returnlow; }

voidqsort(intl[],intlow,inthigh) {

intprvotloc; if(low

prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high } }

voidquicksort(intl[],intn) {

qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴，从第一个排到第n个 }

intmain() {

inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; intvalue=0;//将最小差的值赋值给value for(intb=1;b<11;b++) cout<

if((a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1])) value=a[i+1]-a[i]; else

value=a[i+2]-a[i+1]; }

cout<

4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和C++描述。 #include usingnamespacestd; intmain() { inta[]={1,2,3,6,4,9,0};

intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(inti=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]

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mid_value=a[i+1]; cout<a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<

5.编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。 #include usingnamespacestd; intmain() {

doublevalue=0; for(intn=1;n<=10000;++n) {

value=value*10+1; if(value 13==0) {

cout<<\至少为:\ break; }

}//for return0; }

6.计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值 #include usingnamespacestd; intmain() {

doublea,b;

doublearctan(doublex);//声明 a=16.0*arctan(1/5.0); b=4.0*arctan(1/239);

cout<<\

return0； }

doublearctan(doublex) {

inti=0;

doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初 sqr=x*x;

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e=x;

while(e/i>1e-15)//定义精度范围 {

f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程 r=(i%4==1)?r+f:r-f;

e=e*sqr;//e每次乘于x的平方 i+=2;//i每次加2 }//while returnr; }

7.圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数 #include usingnamespacestd; intmain() {

intvalue,k=1; cin>>value; for(inti=2;i!=value;++i) {

while(value%i==0) {

k+=i;//k为该自然数所有因子之和 value=value/i; } }//for

if(k==value) cout<<\该自然数是完美数\ else

cout<<\该自然数不是完美数\ return0; }

8.有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如：

第一趟：甲，乙过桥且甲回来 第二趟：甲，丙过桥且甲回来 第一趟：甲，丁过桥 一共用时19小时

9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行