2020届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测（12月） 数学（理） - 图文

科目：数学(理科)

(试题卷)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的 封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作 答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4.本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。 姓 名 准考证号 绝密★启用前

郴州市2020届高三第一次教学质量监测试卷

理科数学

(命题人:郴州市2020届高三理科数学专家组成员

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.

1?2x<2}，B={x|lnx?0}，则A?B? 211A. (0,) C. [?1,0) D. [,1) B. [?1,1]

22a2.若复数Z??1为纯虚数，则实数a?

1?i1.设集合A={x|A.-2

B.-1 C.1 D.2

3.下列结论中正确的个数是

①在?ABC中，若sin24=sin2B，则?ABC是等腰三角形； ②在?ABC中，若 sinA>sinB，则A>B

③两个向量a,b共线的充要条件是存在实数?，使b??a ④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. A. 0

B. 1 C. 2 D. 3

4.已知向量a=(2,3)，b?(3,m)，且a?b，则向量a在a?b方向上的投影为

A. ?

2626 C. 13 D. B. ?13 22- 1 -

5.郴州市某校高一（10)班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一(10)班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线 A.24

B.18

C.16

D.10

6.函数f(x)?x?cosx的大致图象是

7.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一个节气，每个节气晷(gui)长损益相同（晷是按照日影测定器，晷长即为所测量影子的长 ).二十四个节气及晷长变化相邻两个晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈四至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏三个节气(立秋)晷长是 A.五寸

B. 二尺五寸

年有二十四时刻的仪如图所示，尺五寸，夏至之后的第

C.五尺五寸 D. 四尺五寸

?3x?y?4?8.已知x,y满足约束条件?y?4， 若Z?ax?y(a>0)的最大值是16,则a的值为

?x?y?2?A.2 B.

11 C.4 D. 242y2?1的左、右焦点分别为F1,F2,圆x2?y2?1上的点到直线x?3y?6?0的距离9.已知双曲线x?3最小值为m，若双曲线上一点P，使

sin?PF2F1?m，则F2P?F2F1的值为

sin?PF1F2

A.3 B.2 C.-3 D.-2

10.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a，b)上的导函数为

f''(x)，若在(a，b)上f''(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数已知

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m2x在（1，4)上为“凸函数”，则实数m的取值范围是 214A.(??,2e?1] B.[e?1,??) C.[e?,??) D. (e,??)

4123a4b11.已知函数f(x)?x?sinx，若正实数a,b满足f()?f(?1)?0，则的最小值为 ?aba?1b?2f(x)?ex?xlnx?A.7 B. 7?43 C. 5?43 D. 7?23

012.在边长为23的菱形ABCD中，?BAD?60，沿对角线BD对折，使得A到A'，且AA'?33，则四

面体A'BCD外接球表面积为 A.34? B.32? C.17?

D.28?

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13. (?x)展开式中的常数项为 . 14. 设等差数列{an}满足a1?3,S4?24,bn?1x61，则数列{bn}的前n项和为 . anan?1圆.过B作形中随机取

15.如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半BD丄AC，与半圆相交于D，AC=8,BD=15，在整个图一点，则此点取自图中阴影部分的概率是

.

x2y216.已知直线l:kx?y?2k?1?0与椭圆C1:2?2?1(a>b>0)交于A、B两点，与圆

ab3C2:(x?2)2?(y?1)2?1交于C、D两点.若存在k?[?,?1]，使得AC?DB，则椭圆C1的离心率的取

2值范围是

.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17题-21题为必考题. 22题、23题为选考题.

17.(本小题满分12分）

在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量n?(2a?c,cosC)与向量m?(b,cosB)共线.

(I)求角B的大小；

(II)若BD?2DC，且CD=1，AD=7，求三角形ABC18.(本小题满分12分）

的面积.

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如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=22，BC=2AE=2, ?PAB是等腰三角形. (I )求证：CD丄平面PAC;

(II)求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值.

19.(本小题满分12分）郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:℃）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (I)求六月份这种饮料一天的需求量X(单位:瓶）的分布列；

(II)设六月份一天销售这种饮料的利润为Y(单位:元），当六月份这种饮料一天的进货量n(单位:瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 20.(本小题满分12分）

2x2y2)在椭圆上E:2?2?1(a>b>0)，点N(2a,2b)为平面上一点，0为坐标原点. 已知点M(1,2ab(I)当|ON|取最小值时，求椭圆E的方程；

(II)对(1)中的椭圆E，P为其上一点，若过点Q(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的 两点S和T，且满足

OS?OT?tOP(t?0)，求实数t的取值范围.

21.(本小题满分12分）

设函数f(x)?xlnx?ae,?(x)?x12mx?x，其中a?R,e是自然对数的底数. 2(I)若f(x)在(0,??)上存在两个极值点，求a的取值范围；

(II)当f'()?0,设F(x)?f(x)??(x),m?R，若F(x)在(0,??)上存在两个极值点x1,x2，且x1e.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

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