人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析（含答案）

人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析

第三章 课文目录 3．1 函数与方程

3．2 函数模型及其应用

重点：

1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.

2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：

1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.

一、方程的根和函数的零点

1．函数的零点

给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：

一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根，就是相应的二次函数

2y?ax2?bx?c?a?0?的图象与x轴的交点的横坐标。

我们把使f?x??0的实数x叫做函数y?f?x?的零点。

注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。 例1 函数y?x?2x?3的零点是（ ）

20? A．x??1或x?3 B．??1,0?或?3，0? C．x?1或x??3 D．?1,0?或??3，函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。利用学生熟悉的二次函数的图象和性

质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。

为判断方程f?x??0实数根的个数，只需观察函数y?f?x?的图象与x轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。 例2 判断方程lnx?2x?6?0实根的个数。

y

Y=lnx+2x-6

o x

2．函数零点存在的判定

引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：

当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。 由此概括得到函数零点存在的判定方法。

如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f?a??f?b??0 ，那么，函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?，使得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根。

判定方法中要注意几点：

（1） 函数y?f?x?的图像在区间?a,b?上连续不断——连续函数； （2） f?a?与f?b?异号；

（3） 存在c??a,b?——c不一定唯一；

（4） 在区间?a,b?上连续，在区间?a,b?内有零点。 例3 方程lgx?x?3的解所在区间为（ ）

A．?0,1? B．?1,2?

??? C．?2,3? D．?3，解析：设函数 f?x??lgx?x?3 ，f?2??f?3???lg2?1??lg3??0。

例4 已知函数f?x??3mx?4，若在区间??2,0?上存在x0，使得f?x0??0，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿.

解析：因为方程 f?x??3mx?4=0 在区间??2,0?上有唯一解， 所以 f??2??f?0???4??6m?4??0,

2． 32?xx例5证明方程3?在区间?0,1?上有且只有一个实数根．

x?12?x证明：设函数f?x??3x?.x?1由函数的单调性.定义，可以证明f?x?是??1，???上的增函数.5?f?0??f?1????1???0,

2?f?x?在区间?0,1?内有且只有一个零点.2?x?方程3x?在区间?0，1?内有且只有一个根.x?1所以m??

二、用二分法求方程的近似解

用二分法求函数f?x?零点的步骤：

1．定区间?a,b?，验证f?a??f?b??0，给定精度?； 2．求区间?a,b?的中点x1，计算f?x1?。 3．若f?x1??0，则x1就是函数的零点。

若f?a??f?x1??0，则令b?x1； 若f?x1??f?b??0，则令a?x1。

4．判断是否达到精度?：若a?b??，则得到零点值 a (或b)；否则重复步

骤2至4。

注意：精度的含义是指近似解所处的区间两个端点之差的绝对值(或区间长度小于它)小于?,而不包含对所求近似解的精确度的要求,因而不能对所求的近似解进行四舍五入.

注意：本节课的特点是计算量大，需要借助计算器，充分展现出信息技术在数学上的应用。

例 6下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求函数零点的图号（ ）

y

?在区间?a,b?上零点的条件：定区间?a,b? y 例5主要考查用二分法求函数f?xy

y

x x x

A B C D

例7 把区间?2,3?看作方程lgx?x?3?0的第一个有解区间，在用二分法求此方程的实数解时（精确度0.1 ），第三个有解的区间是 ．

解析：设f?x??lgx?x?3,利用二分法进行计算：

x

f?2???0.698?0,f?3??0.477?0，

x1?2.5,f?x1???2.80，f?3??f?x1??0，3?2.5?0.5。

第二个有解区间是?2.5,3?。

f?x2??0.189?0,f?x2??f?x1??0，2.75?2.5?0.25。

第三个有解区间是?2.5,2.75?。

例8（P90）借助计算器或计算机用二分法求方程2?3x?7的近似解。

解析：令f?x??2?3x?7，作出函数f?x?对应值表与图象。

xxx 0 - 6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 142 f?x?

x

o

例8展示出用二分法求方程的近似解的完整过程，先定有解区间，再定解的近似值。

问题：

1．下表是否符合要求？

y