高中数学《合情推理与演绎推理》文字素材1 新人教A版选修2-2

剖析演绎推理证明的几种常见错误

1. 偷换论题

例1求证四边形的内角和等于360。

证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有

0?A??B??C??D?900?900?900?900?3600，

所以，四边形的内角和等于360。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。

2. 虚假论据

例2已知2和3是无理数，试证2?3也是无理数。 证明：依题设2和3是无理数， 而无理数与无理数的和是无理数， 所以2?3也是无理数。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。

3. 循环论证

例3在Rt?ABC中，?C?90求证：a?b?c。 证明：因为a?csinA,b?ccosA，

02220?a2?b2?c2sin2A?c2cos2A

=c(sinA?cosA)?c。 剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“sinA?cosA?1”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。

4. 不能推出

222222例4设?、?、??（0，），且tan???2111，tan??，tan??。 258求证：???????4。

证明：因为tan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?

1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?111111?????=258258?1，

1111111??????255858????????4。

剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为tan(?????)?1只能推出??????n???4,(n?Z)。至于关系式???????4是否唯一地成立，却无

法断定。因此，只有进一步推出0??,?,??证。

?4，即0???????3?，原题才能得4演绎推理的三种类型

“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种情况，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助。

1、显性三段论

在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的。也是演绎推理最为简单的应用。

例1、当a,b为正数时，求证：

a?b?ab 2证明：因为一个实数的平方是非负数 而

a?bab2?ab?(?)是一个实数的平方， 222a?ba?b?ab是非负数，即?ab?0 22a?b所以，?ab

2所以

评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“

a?ba?b，结论：“，从?ab是一个实数的平方”?ab是非负数”

22而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确。

2、隐性三段论

三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论。

例2、判断函数f(x)?解：由于x?R

1?x2?x?11?x?x?12的奇偶性

1?x2?x?11?x2?x?12xf(x)?????1?f(?x)??f(x) 且

22f(?x)1?x?x?11?x?x?1?2x故函数为奇函数

评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，用了；只是大前提“若函数f(x)是奇函数，则f(x)??f(?x)；若函数f(x)是偶函数，则

f(x)?f(?x)

”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了。这是演绎推理三段论的又一表现形式。 3、复式三段论

一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论。可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论。

例3、若数列?an?的前n项和为sn?证

明

n(a1?an)，求证：数列?an?为等差数列。 2：

由

an?sn?sn?1?an?因

n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)a?a1n?1??n? 22an?1?a1n?2此

an?a1?(a2?a1)?a3?a1a4?a1a?a123n?1????n?(a2?a1)????

a2?a1a3?a1an?1?a112n?2?an?a1?(n?1)(a2?a1)?an?an?1?a2?a1

故数列?an?为等差数列

评析：本题的论证共有三层，即三次使用演绎推理，请看

第一层，大前提“若sn是数列?an?的前n项和，则an?sn?sn?1”；小前提“数列?an?的前n项和为sn?n(a1?an)n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)?， 则an?”；结论

222“

an?a1n?1?”；

an?1?a1n?2第二层，大前提“对于非零数列?an?，则有an?a1?(aa2)???(n)”；小前提“满a1an?1列

足

an?a1n?1?an?1?a1n?2的数

?an?；

结

有

an?a1?(a2?a1)?a3?a1a4?a1a?a1????na2?a1a3?a1an?1?a1”论

“an?a1?(n?1)(a2?a1)”；

第三层，大前提“对于数列?an?，若an?an?1?常数，则?an?是等差数列”；小前提“由an?a1?(n?1)(a2?a1)，得an?an?1?a2?a1为常数”；结论“数列?an?为等