广东省广州市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题

当x???0,1??时, g??x??0; 当x???1,?????e??e?时, g??x??0.

所以函数g?x?在??0,1??上单调递增, 在??1,?????e??e?上单调递减. ……………………2分

故x?1e时, 函数g?x?取得最大值g??1?111?e????elne?e. …………………………3分 因而函数f?x??lnx?ax有零点, 则0?a?1e. ………………………………………4分

所以实数a的取值范围为??0,1??. …………………………………………………5分

?e?(Ⅱ) 要证明当a?2e时, f?x??e?x, 即证明当x?0,a?2e时, lnx?ax?e?x, 即xlnx?a?xe?x.………………………6分

令h?x??xlnx?a, 则h??x??lnx?1. 当0?x?1e时,f??x??0;当x?1时,f??x??0. e

所以函数h?x?在??0,1??上单调递减, 在?1??e???e,???上单调递增.

? 当x?1e时, ??h?x???min??1e?a. ……………………………………………………7分 于是,当a?211e时, h?x???e?a?e.① ……………………………………8分

令??x??xe?x, 则???x??e?x?xe?x?e?x?1?x?. 当0?x?1时,f??x??0;当x?1时,f??x??0. 所以函数??x?在?0,1?上单调递增, 在?1,???上单调递减.

当x?1时, ????x???1max?e. ……………………………………………………9分 于是, 当x?0时, ??x??1e.② ……………………………………………………10分

显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当a?2e时, f?x??e?x. ……………………………………………………12分 22）解：

13

（ (Ⅰ) 由??x?3?t,消去t得x?y?4?0, ………………………………………1?y?1?t,分

所以直线l的普通方程为x?y?4?0. ………………………………………2分 由??22cos??????4???22???cos?cos????4?sin?sin4???2cos??2sin?, ……3分

得?2?2?cos??2?sin?. ………………………………………4分 将?2?x2?y2,?cos??x,?sin??y代入上式,

得曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y, 即?x?1?2??y?1?2?2. ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为P?1?2cos?,1?2sin??, ………………………………6分

则点P到直线l的距离为d?1?2cos??1?2sin??42…………………………7分

?2?sin??cos???22 2sin????????4???22.………………………………………8分

当sin??????

?4????1时, dmax?22, ………………………………………9分 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22.………………………………10分 法2: 设与直线l平行的直线为l?:x?y?b?0, ………………………………………6分

当直线l?与圆C相切时, 得1?1?b2?2, ………………………………………7分

解得b?0或b??4(舍去),

所以直线l?的方程为x?y?0. ………………………………………8分

所以直线l与直线l?的距离为d?0?42?22. …………………………………9分

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22. ………………………………10分

14

（23）解：

(Ⅰ) 因为f?1??3，所以a?1?2a?3. ………………………………………1分

① 当a?0时，得?a??1?2a??3，解得a??23，所以?23?a?0; ……………2分 ② 当0?a?12时，得a??1?2a??3，解得a??2，所以0?a?12; ……………3分

③ 当a?14142时，得a??1?2a??3，解得a?3，所以2?a?3; ……………4分

综上所述，实数a的取值范围是???2,4??. ………………………………………5分 ?33?(Ⅱ) 因为a?1,x?R ,

所以f?x??x?a?1?x?2a??x?a?1???x?2a?……………………………7分

?3a?1 ……………………………………………………………………8分

?3a?1 ……………………………………………………………………9分

?2. ……………………………………………………………………10分

15