与正方形有关的几个综合题

1．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN； （2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；

（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

2．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.

DC(1)求证：∠ADP＝∠EPB；

(2)求∠CBE的度数；

FE

A BP

3、如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上， 若?AEF?90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE?EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）。 ①AE?EF是否总成立？请给出证明；（5分）

4. 探究问题： ⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______． 图① ∴_________=EF，故DE+BF=EF． ⑵方法迁移：

如图②，将Rt?ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，

1

且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

2

图②

⑶问题拓展：

1

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，

2

试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

图③

5. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF.

图1

(2) 如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°， EF＝4.求GH的长. 图2 6．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一

点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F. （1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；

（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.