名师伴你行2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何专题限时训练16 文

专题限时训练(十六) 圆锥曲线的概念与性质

(时间：45分钟 分数：80分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(20152陕西卷)已知抛物线y＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )

A．(－1,0) C．(0，－1) 答案：B

解析：抛物线y＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.

22所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

2

2

B．(1,0) D．(0,1)

ppx2y2

2．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，

ab∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )

A.3 6

1B. 3D.3 3

1C. 2答案：D

解析：因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，

2343

所以|PF2|＝2ctan 30°＝c，|PF1|＝c.

3363c13

又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，则e＝＝＝. 3a33

x2y2

3．从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与xab轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )

A.2 42 2

1B. 2D.3 2

C.

答案：C

b2c2

解析：根据题意可知点P(－c，y0)，代入椭圆的方程可得y＝b－2，根据AB∥OP，

a20

2

1

PF1BOy0bbcb2c2b2c2c22

可知＝，即＝，解得y0＝，即b－2＝2，解得e＝＝.故选C.

F1OOAcaaaaa2

x2y2

4．(20152浙江模拟)椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆Mab→→2,222

上任一点，且PF12PF2的最大值的取值范围是[c3c]，其中c＝a－b，则椭圆M的离心率

e的取值范围是( )

?11?A.?，? ?42?

C.?

2??1

B.?，? ?22?

?2?

，1? ?2?

?1?D.?，1?

?2?

答案：B

解析：设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)， →→

则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， →

PF12PF2＝x2＋y2－c2.

又x＋y可看作P(x，y)到原点的距离的平方， →→2222

所以(x＋y)max＝a，所以(PF12PF2)max＝b， 12122222

所以c≤b＝a－c≤3c，即≤e≤，

4212

所以≤e≤.故选B.

22

5．(20152四川卷)设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)＋y＝r(r2

2

2

2

2

2

→

＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )

A．(1,3) C．(2,3) 答案：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 则y1＝4x1，y2＝4x2，两式相减得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，即

2

2

B．(1,4) D．(2,4)

y1－y22

＝. x1－x2y0

y0

2

当直线l的斜率存在时，可得斜率k＝， 设圆心为点C，则点C坐标为(5,0)，于是kCM＝∵ CM⊥l，∴ kCM2k＝－1，

y0

x0－5

. 2

∴

2

2＝－1，解得x0＝3. x0－5y0

y0

故切点M的坐标为(3，y0)．

若切点M不在x轴上，需r＞5－3＝2，此时有两条切线． 当直线l的斜率不存在时，切点M为圆与x轴的交点，符合题意． ∴ 当r＞2时，有4条直线符合题意．

??y＝4x，

又当抛物线与圆相切时，联立方程组?222

??x－5?＋y＝r，?

2

消去y得x－6x＋25－r22

＝0，令Δ＝0，解得r＝4，此时x＝3.故圆与抛物线相切时，只有两条直线符合题意，故r＜4.∴ r∈(2,4)．

二、填空题(每小题5分，共15分)

x2y2

6．(20152山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近

ab线与抛物线C2：x＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

3答案：

2

2

2pb2pb?b?解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A?，2?，

a?a?a2

?2pb2pb??p?B?－，2?，抛物线焦点为F?0，?，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF2kOA＝－1，

a??a?2?

p2pb2

－22aab?babbb25c?又kBF＝＝－，kOA＝，所以有?－?＝－1，即2＝，故C1的离心率e＝＝ 2pb4baaa4a?4ba?aab2

1＋2＝ a531＋＝. 42

2

2

7．抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为________．

答案：y＝23x

1

解析：过A作AC⊥BB′于点C，因为直线的倾斜角为30°，所以AC＝AB，设A(x1，y1)，

23?p?pB(x2，y2)，直线AB的方程为y＝?x－?，与抛物线方程联立消元得：x2－7px＋＝0，所

3?2?4以x1＋x2＝7p，所以AB＝8p，所以S四边形AA′B′B2

2

11

＝(AA′＋BB′)2AC＝38p34p＝48，所以22

3

p＝3.所以抛物线方程为y2＝23x.

8．(20152甘肃兰州诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于12

，且它的一个顶点恰好是抛物线x＝83y的焦点，则椭圆C的标准方程为________． 2

答案：＋＝1

1612

解析：抛物线焦点(0,23)，

x2y2

c1

即b＝23，e＝＝，

a2

∴a＝2c，又a－b＝c，故a＝4，c＝2， ∴椭圆方程为＋＝1.

1612

三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)

2

2

2

x2y2

x2y2

9．设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线lab与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4

因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝a.

3

l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

y＝x＋c，??22?xy2＋2＝1，??ab2

2

22

化简得(a＋b)x＋2acx＋a(c－b)＝0. －2aca?c－b?则x1＋x2＝22，x12x2＝.

a＋ba2＋b2因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[?x1＋x2?－4x1x2]. 44ab22

故a＝22，得a＝2b， 3a＋b2

2

2

2

2

2222

ca2－b22

所以E的离心率e＝＝＝.

aa2

4