第三章线性规划的解法习题解答090426y

解：(1) 在第一象限内分别画出约束边界方程对应的直线，以及两条坐标轴：

l1: 2x1?3x2?30l2: x1?x2?12l3: 2x1?x2?20上述五条直线构成该线性规划问题的可行域为：OABCD。

如图3-2所示，可行域的五个顶点对应的坐标分别为：O(0,0)；A(0,10)； B(6,6)； C(8,4)； D(10,0)。

分别画出目标函数的等值线：

l4: Z?4x1?5x2?20l5: Z?4x1?5x2?54

由图3-9可知，目标函数等值线在顶点B(6,6)处取得最大值，最大值为z=54。即当x1?x2?6时，目标函数值的最大值为maxZ?4x1?5x2?54。

图３－2

(2)当目标函数变化为Z?4x1?7x2时，可行域不变，仍然是以OABCD为顶点围成的区域。由于斜率由-4/5增大为-4/7，所以，最优解所在的顶点为A(0,10)，此时目标函数取得最大值。即当x1?0,x2?10时，目标函数的最大值为

maxZ?4x1?7x2?70。如图3-3所示。

(3)当第三个约束条件变化为2x1?x2?15时，可行域已经改变，是以O(0,0)；A(0,10)； B(3.75,7.5)； C(7.5,0) 为顶点围成的区域。从图3-4可知，目标函数等值线在顶点B(3.75,7.5) 取得最大值，最大值为z=52.5。即当x1?3.75,x2?7.5 17

时，目标函数的最大值为maxZ?4x1?5x2?52.5。

图３－3

图３－4

例3-5 用图解法求解下列线性规划问题

maxZ?2x1?x2?2x1?x2?10?x?x?1?s.t?12?x2?2??x1,x2?0(1)(2) (3)(4)解: (1)以x1和x2为坐标轴建立平面直角坐标系．一般以x1为横坐标，x2为

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纵坐标。

(2)确定决策变量的可行域。

约束条件中，x1,x2?0表明所求的可行解都在第I象限内或坐标轴的正方向部分（包括原点)。

确定约束2x1?x2?10所限定的区域。画出直线2x1?x2?10，容易判断，其左下方的点满足约束2x1?x2?10 (比如，取原点(0，0)代入2x1?x2?10显然不等式成立)．考虑到x1,x2?0，则区域OAB为所确定区域。如图3-5所示。

图3-5

确定约束x1?x2?1所限定的区域围。先画出直线x1?x2?1，容易判断，其右上方的点满足约束x1?x2?1。考虑到，x1,x2?0及2x1?x2?10，则区域ACBD为所确定区域，如图3-6所示。

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图3-6

确定约束x2?2所限定的区域。先画出直线x2?2，容易判断其下方的点满足约束x2?2，考虑到x1,x2?0，2x1?x2?10及x1?x2?1，则区域FCDBE为所确定区域。如图3-7所示。

图3-7

因为区域FCDBE所包含的点满足所有的约束条件，所以它就是决策变量的可行域。

(3)画出目标函数等值线，确定优化方向。

目标函数为Z?2x1?x2，可改写为x2??2x1?Z，其中Z是待定的值，如果

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