【精选】备战2020中考数学专题复习分项提升第22讲 与圆有关的位置关系(学生版)

第22讲 与圆有关的位置关系

1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： (1)点P在圆上?d＝r； (2)点P在圆内?dr． 2．直线和圆的位置关系

(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．

直线和圆的位置关系 公共图形 点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称 相交 2 d＜r 交点 割线 相切 1 d＝r 切点 切线 相离 (2)切线的性质： 0 d>r 无 无 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 ③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

(4)①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长． ②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的外接圆和内切圆

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名称 图形 内、外心 性质 三角形的外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内切圆 三条角平分线的交点称为三角形的内心 三角形的内心到三角形三条边的距离相等

考点1：圆的切线的判定与性质

【例题1】如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE. ︵

(1)若∠ADC＝30°，求BD的长； (2)求证：△DAC≌△ECP；

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(3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝，求AD的长．

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归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线”．

2．求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解．

考点2：圆的切线综合应用

【例题2】（甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点

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O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC． （1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，BC=10，求DE的长．

归纳：当⊙C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径R在一定范围内时，斜边AB与⊙C相交且只有一个公共点． 考点3：圆与其它知识的综合应用

【例题3】【例1】 如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F. (1)求证：CF是⊙O的切线；

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(2)若ED＝3，cos∠F＝，求⊙O的半径．

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一、选择题：

1. 矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )

3

A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内 D．点B，C均在圆P内

C．点B在圆P内、点C在圆P外

2. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是( )

A．外切 B．内切 C．相交 D．外离

3. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2

，则线段CD的长是（ ）

A．2

B．

C．

D．

4. （2019?黑龙江哈尔滨?3分）如图，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，点C为⊙O上一点，连接AC.BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）

A．60°

B．75°

C．70°

D．65°

5. (2019湖北仙桃)（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（ ）

A．4个 二、填空题：

6. （2019?江苏苏州?3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延

4

B．3个 C．2个 D．1个