(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习 集合、不等式、常用逻辑用语练习(含解析)

所以m的最小值为4. 答案：1 4

(1)充分条件与必要条件的三种判定方法 定义法 正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件) 利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A?B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 集合法 等价法 (2)全称命题与特称命题真假的判定方法 ①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证

p(x)成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可．

②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素

x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

[提醒] 求解简易逻辑问题有以下几个易失分点：

(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念．

(2)命题的否定与否命题是有区别的，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论． (3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词．

一、选择题

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( ) A．(－∞，1) C．(－3，－1)

2

2

B．(－2，1) D．(3，＋∞)

解析：选A.A∩B＝{x|x－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}． 故选A.

1

2．命题“?x>0，ln x≥1－”的否定是( )

x1

A．?x0≤0，ln x0≥1－

x0

1

B．?x0≤0，ln x0<1－

x0x0

1

C．?x0>0，ln x0≥1－

- 9 -

1

D．?x0>0，ln x0<1－

x0

解析：选D.若命题为?x∈M，p(x)，则其否定为?x0∈M，綈p(x0)．所以“?x>0，ln x11

≥1－”的否定是?x0>0，ln x0<1－，故选D.

xx0

3.(2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )

A．{3} C．{3，7}

B．{7} D．{1，3，5}

解析：选B.由图可知，阴影区域为?U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是?U(A∪B)＝{7}，故选B.

4．(2019·广西钦州期末)已知a，b∈R，a＋b＝15－ab，则ab的最大值是( ) A．15 C．5

2

2

2

2

B．12 D．3

解析：选C.因为a＋b＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±5时等号成立．所以ab的最大值为5.故选C.

5．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是( ) A．a＜－ab 11C．＞

2

B．|a|＜|b|

ab?1??1?D．??＞?? ?2??2?

a2

ab?1?解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a＞0＞b，此时a＝－ab，|a|＝|b|，??＜?2??1?，所以A，B，D不一定成立．因为a＞0＞b，所以b－a＜0，ab＜0，所以1－1＝b－a＞0，?2?abab??

11

所以＞一定成立，故选C.

bab1111

优解：因为a＞0＞b，所以＞0＞，所以＞一定成立，故选C.

abab6．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

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解析：选C.因为f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)， 即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x， 所以2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0. 故f(x)为偶函数?b＝0.必要性成立．

反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立． 所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C. 7．下列命题错误的是( )

1A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件

aB．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件

11

解析：选C.若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；

2

2

aa根据特称命题的否定为全称命题，得“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x＋y≥4，当x＋y≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．

8．(一题多解)若关于x的不等式x＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．(0，＋∞) C．[－1，1]

B．[－1，＋∞) D．[0，＋∞)

2

2

2

2

2

2

2

解析：选B.法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，

?1??1?22

当x＞0时，x＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x＋1)?2a≥－?x＋?，又－?x＋?≤－2，当且仅

?

x?

?x?

当x＝1时，取等号，所以2a≥－2?a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

法二：设f(x)＝x＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，

当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立； 当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a－2a＋1＝－

2

2

2

a2＋1≥0，得－1≤a＜0.

综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.

??0，x≤0，2

9．(一题多解)设函数f(x)＝?x－x则满足不等式f(x－2)＞f(x)的

?2－2，x＞0，?

x的取值

范围是( )

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A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

解析：选C.法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x－2)＞f(x)得，?

??x＞0，

2

2

??x－2＞x或?

??x≤0，

2

??x－2＞0，

解得x＞2或x＜－2，所以x的取值范围是(－∞，

－2)∪(2，＋∞)，故选C.

法二：取x＝2，则f(2－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.

10．若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B2

2

?b??1?

＝?b?，记A?B＝max{ab，ab，ab}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝?x－2?，若A?B＝x?b??|x－1|?

123

11

22

33

－1，则x的取值范围为( )

A．[1－3，1] C．[1－2，1]

B．[1，1＋2] D．[1，1＋3]

?1?

解析：选B.由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝?x－2?，得A?B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，

?|x－1|?

???x－1≥（x＋1）（x－2），?x－2x－1≤0①，

|x－1|}＝x－1，则?化简，得?由①，得1－2

?x－1≥|x－1|.?x－1≥|x－1|②.??

2

≤x≤1＋2.由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋2，则x的取值范围为[1，1＋2]．故选B.

11．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x－x＜0}，则下列结论正确的是( )

A．M∩N＝N B．M∩(?UN)≠? C．M∪N＝U D．M?(?UN)

解析：选AB.由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又?UN＝{x|x≤0或

2

x≥1}，所以M∩(?UN)＝{x|x≤0}≠?，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M?(?UN)，故选AB.

12．(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式正确的是( )

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