(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习 集合、不等式、常用逻辑用语练习(含解析)

[考法全练]

1．(多选)下列不等式的证明过程错误的是( ) A．若a，b∈R，则＋≥24

B．若a＜0，则a＋≥－2

baababa·＝2 aba·＝－4 a4

C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2lg a·lg b D．若a∈R，则2＋2≥22·2＝2

4

解析：选ABC.由于a，b的符号不确定，故选项A错误；因为a＜0，所以a＋＝－

a－aa－aa?（－a）＋?－4??≤－2??a??????

a?4?（－a）·?－?＝－4，故B错误；由于lg a，lg b的符号不确定，

a?

?

－a故选项C错误；因为2＞0，2＞0，所以2＋2≥22·2＝2，故选项D正确．故选ABC.

2．(一题多解)(2019·长沙模拟)若a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( ) A．2 C．6

B．4 D．8

2

a－aa－a（a＋b）

解析：选B.法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅

4当a＝b＝2时取等号，故选B.

11ab?11?法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·?＋?＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当

ab?ab?

baa＝b＝2时取等号，故选B.

法三：由题意知a＝

b1

(b＞1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且b－1b－1b－1

b仅当a＝b＝2时取等号，故选B.

11

3．已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则＋的最

x3y小值为( )

A．2 C．4

B．22 D．23

解析：选C.因为a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以13yx?11?＋＝(x＋3y)·?＋?＝2＋＋≥2＋2x3yx3y?x3y?1

11

以＋的最小值为4.故选C. x3y3yx1·＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所x3y2

- 5 -

4．(2019·高考天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则________．

解析：因为x＞0，y＞0，所以xy＞0.

（x＋1）（2y＋1）

xy的最小值为

（x＋1）（2y＋1）2xy＋x＋2y＋12xy＋66

因为x＋2y＝5，所以＝＝＝2xy＋≥212

xyxyxyxy＝43.

当且仅当2xy＝

6

xy时取等号．

（x＋1）（2y＋1）所以的最小值为43.

xy答案：43

12

5．(2019·洛阳模拟)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．

xy12

解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋

xyy6x2y?12?2y)?＋?＝7＋＋，且x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥7＋43，所以xy＋x＋y的最小值为7

?xy?

x＋43.

答案：7＋43

6．已知a＞b＞0，则a＋

41

＋的最小值为________，此时a＝________． a＋ba－b82?411?

＋a－b＋＋＝?a＋b＋≥a＋ba－b?a＋ba－b2??

解析：因为a＞b＞0，所以a＋（a＋b）·号成立．

答案：32

32

28＋a＋b（a－b）·

2322＝22＋2＝32，当且仅当a＝，b＝时等a－b22

利用不等式求最值的4个解题技巧

(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分

- 6 -

开再利用基本不等式求最值．即化为y＝m＋式，然后运用基本不等式来求最值．

A＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形g（x）

(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．

[提醒] (1)基本不等式a＋b≥2ab成立的条件是a＞0，b＞0，而不等式a＋b≥2ab对任意实数a，b都成立，因此在使用时要注意其前提条件．

(2)对多次使用基本不等式时，需考虑等号是不是能同时成立．

(3)对于含有x＋(a＞0)的不等式，不能简单地利用x＋≥2a，而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2a，若不能，需要利用函数的单调性求其最小值．

常用逻辑用语

[考法全练]

1．(2019·沈阳市质量监测(一))设命题p：?x∈R，x－x＋1>0，则綈p为( ) A．?x∈R，x－x＋1>0 C．?x∈R，x－x＋1≤0

22

2

2

2

axaxB．?x∈R，x－x＋1≤0 D．?x∈R，x－x＋1<0

2

2

2

解析：选C.已知原命题p：?x∈R，x－x＋1>0，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定綈p为?x∈R，x－x＋1≤0.

2．(2019·广州市调研测试)下列命题中，为真命题的是( ) A．?x0∈R，ex0≤0 B．?x∈R，2>x

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1

解析：选D.因为e>0恒成立，所以选项A错误．取x＝2，则2＝x，所以选项B错误．当

xx2

2

x2

abaaaa＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时无意义，所以也不可能推出＝－1；当＝－1时，变

bbb形得a＝－b，所以a＋b＝0，故a＋b＝0的充分不必要条件是＝－1，故选项C错误．假设x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这显然与已知x＋y>2矛盾，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．综上，选D.

3．(2019·高考浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

- 7 -

abC．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为a>0，b>0，若a＋b≤4，所以2ab≤2＋b≤4.

所以ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4. 这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．

综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A. 4．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.由“x－5x<0”可得“0

故选B.

5．(多选)满足函数f(x)＝ln(mx＋3)在(－∞，1]上单调递减的一个充分不必要条件是( )

A．－3＜m＜－2 C．－4＜m＜0

B．－3＜m＜0 D．－3＜m＜－1

2

2

2

解析：选AD.结合复合函数的单调性，可知函数f(x)＝ln(mx＋3)在(－∞，1]上单调递

??m＜0，减的充要条件是?解得－3＜m＜0.所以“－3＜m＜－2”是“函数

?m＋3＞0，?

f(x)在(－∞，1]

上单调递减”的充分不必要条件，故A正确；“－3＜m＜0”是“函数f(x)在(－∞，1]上单调递减”的充要条件，故B不正确；“－4＜m＜0”是“函数f(x)在(－∞，1]上单调递减”的必要不充分条件，故C不正确；“－3＜m＜－1”是“函数f(x)在(－∞，1]上单调递减”的充分不必要条件，故AD正确．

6．设条件p：|x|≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．

解析：由|x|≤m(m＞0)得：－m≤x≤m，

??－m≥－1

由p是q的充分条件???0＜m≤1，

?m≤4?

所以m的最大值为1，

??－m≤－1

由p是q的必要条件???m≥4，

?m≥4?

- 8 -