（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 集合、不等式、常用逻辑用语练习（含解析）

第2讲 集合、不等式、常用逻辑用语

集 合 [考法全练]

1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )

A．{2} C．{－1，2，3}

B．{2，3} D．{1，2，3，4}

解析：选D.因为A∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1，2}，所以(A∩C)∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选D.

2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{y|y＝4

－2

2

x}，则A∩(?UB)＝( ) A．(－1，0) C．(0，1)

2

B．[0，1) D．(－1，0]

解析：选D.A＝{x|1－x>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以?UB＝{y|y≤0}，所以A∩(?UB)＝(－1，0]，故选D.

3．(多选)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( ) A．{－1} C．{1}

B．{0} D．{2}

解析：选BCD.因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B?A.由选项知有{0}?A，{1}?A，{2}?A.故选BCD.

4．(一题多解)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 C．5

2

2

2

2

B．8 D．4

解析：选A.法一：由x＋y≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3，又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C3C3＝9，故选A.

法二：

11

- 1 -

根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x＋y＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

5．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝1－x＋x－1}，则( ) A．M?N C．M＝N

B．N?M D．N∈M

22

解析：选B.因为集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝1－x＋x－1}＝{0}，所以N?M.故选B.

6．(一题多解)(2019·安徽省考试试题)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，则a的取值范围为( )

A．(－∞，1] C．(－∞，3]

B．[1，＋∞) D．[3，＋∞)

解析：选B.法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1，故选B.

法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满足A∩B≠?，因此排除A，C.当a＝1时，满足A∩B≠?，排除D.故选B.

集合问题的求解策略

(1)连续数集借助数轴，不连续数集借助Venn图． (2)图形或图象问题用数形结合法．

(3)新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算． [提醒] 解决集合问题要注意以下几点． (1)集合元素的互异性． (2)不能忽略空集．

(3)注意端点的取值，如题3中，A∩(?UB)中含有元素0.

(4)理解代表元素的意义，如题4为点集，其他各题均为数集．

不等式的性质及解法

[考法全练]

1．(2019·陕西华阴期末)若不等式x＋x＋m＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为( )

1??A．?－∞，?

2??

2

2

?11?B．?－，?

?22?

- 2 -

?11?C．?－，? ?22?

2

2

?1?D．?，＋∞? ?2?

2

解析：选B.因为不等式x＋x＋m＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m＞0，所以11

－＜m＜.故选B. 22

2．(多选)若0＜a＜1，b＞c＞1，则( )

?b?A．??＞1

?c?

C．ca－1

aB．

c－ac＞ b－ab＜ba－1

D．logca＜logba

b?a?b?0b?解析：选AD.对于A，因为b＞c＞1，所以＞1.因为0＜a＜1，则??＞??＝1，故正确．对

c?c??c?

于B，若

c－ac＞，则bc－ab＞bc－ac，即a(c－b)＞0，这与0＜a＜1，b＞c＞1矛盾，故错b－aba－1

误．对于C，因为0＜a＜1，所以a－1＜0.因为b＞c＞1，所以c＞ba－1

，故错误．对于D，

因为0＜a＜1，b＞c＞1，所以logca＜logba，故正确．故选AD.

3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)若a＞b，则( ) A．ln(a－b)＞0 C．a－b＞0

3

3

B．3＜3 D．|a|＞|b|

ab解析：选C.法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证A，B，D错误，只有C正确． 法二：由a＞b，得a－b＞0，但a－b＞1不一定成立，则ln(a－b)＞0不一定成立，故A不一定成立．

因为y＝3在R上是增函数，当a＞b时，3＞3，故B不成立．

因为y＝x在R上是增函数，当a＞b时，a＞b，即a－b＞0，故C成立． 因为当a＝3，b＝－6时，a＞b，但|a|＜|b|， 所以D不一定成立． 故选C.

4．设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]－5[x]＋6≤0的解集为( )

A．(2，3) C．[2，3]

2

2

3

3

3

3

3

xabB．[2，4) D．(2，3]

解析：选B.不等式[x]－5[x]＋6≤0可化为([x]－2)·([x]－3)≤0，解得2≤[x]≤3，即不等式[x]－5[x]＋6≤0的解集为2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2≤x＜4.故选B.

5．已知实数b＞a＞0，m＜0，则mb________ma，2

b－mb________(用＞，＜填空)． a－ma - 3 -

解析：因为b＞a＞0，m＜0，所以b－a＞0，所以mb－ma＝m(b－a)＜0，所以mb＜ma.

b－mba（b－m）－b（a－m）m（b－a）b－mb－＝＝＜0，所以＜. a－maa（a－m）a（a－m）a－ma答案：＜ ＜

??2，x≤1，6．已知函数f(x)＝?若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的

??ln（x－1），1＜x≤2，

x取值范围是________．

解析：

作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)55

恒成立，由数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.

22

?5?答案：?0，? ?2?

(1)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax＋bx＋c＞0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

(2)简单分式不等式的解法 ①②

2

2

f（x）

＞0(＜0)?f(x)g(x)＞0(＜0)． g（x）

f（x）

≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. g（x）

(3)不等式恒成立问题的解题方法

①f(x)＞a对一切x∈I恒成立?f(x)min＞a；

f(x)＜a对一切x∈I恒成立?f(x)max＜a.

②f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方．

③解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．

基本不等式及其应用

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