2018-2019学年人教新版湖北省黄冈市八年级（下）第二学期期中数学试卷及答案

21．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G连接DG． （1）求证：四边形DEFG为菱形； （2）若CD＝8，CF＝4，求

的值．

【分析】（1）根据折叠的性质，易知DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，由FG∥CD，可得∠1＝∠3，易证FG＝FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形； （2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出

的值．

【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2， ∵FG∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴FG＝FE，

∴DG＝GF＝EF＝DE， ∴四边形DEFG为菱形；

（2）设DE＝x，根据折叠的性质，EF＝DE＝x，EC＝8﹣x， 在Rt△EFC中，FC2+EC2＝EF2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5，CE＝8﹣x＝3， ∴

．

22．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧的墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧的墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，点B到地面的垂直距离BC＝5（1）求梯子的长度；

（2）求两面墙之间的距离CE．

米，DE＝6米．

【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）在Rt△ABC中，在Rt△ADE中解直角三角形即可得到结论． 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝5∴AB＝

BC＝10，

，∠BAC＝60°，

答：梯子的长度为10米；

（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝5∴AC＝

BC＝5，

，∠BAC＝60°，

在Rt△ADE中，∵∠E＝90°，DE＝6米，AD＝AB＝10米， ∴AE＝

＝8米，

∴两面墙之间的距离CE＝AC+AE＝5+8＝13（米）．

23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：BD＝CD；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果矩形AFBD是正方形，确定△ABC的形状并说明理由．

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝CD，再利用等量代换即可得证；

（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB＝90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB＝AC．

（3）根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∴DB＝CD；

（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝CD（三线合一）， ∴∠ADB＝90°， ∴?AFBD是矩形．

（3）当矩形AFBD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°；

，

∵矩形AFBD是正方形， ∴AD＝BD， ∵∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，

∴AD＝BD＝CD＝BC， ∴∠BAC＝90°，

即△ABC是等腰直角三角形．

24．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，﹣4），B（a，b），C（c，0），并且a，c满足c＝

+

+10．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位

长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

（1）求B，C两点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？

（3）点D为线段OC的中点，当t为何值时，△OPD是等腰三角形？直接写出t的所有值．

【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；

（2）由题意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；

（3）当OP＝OD＝5时，当DP＝OD＝5时，当DP＝OP时，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 解：（1）∵c＝

+

+10．