2020届 东北三省四市教研联合体高考模拟 数学(理)试题(解析版)

??????3cos2??1???4sin2??1??3sin2?1?4cos2?11， 2?2?????122?21211117????. 2|OA|2|OB|2?12?212【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

23．已知关于x的不等式|x?1|?|x?3|?|m?2|?m有解. （1）求实数m的最大值t；

（2）若a，b，c均为正实数，且满足a?b?c?t.证明：a3b?b3c?c3a?3abc. 【答案】（1）t?3；（2）见解析

【解析】（1）由题意，只需找到f(x)?|x?1|?|x?3|的最大值即可；

b2c2a2（2）ab?bc?ca?3abc????3，构造并利用基本不等式可得

abc333b2c2a2b2c2a2???(a?b?c)?2(a?b?c)，即???a?b?c?3. abcabc【详解】

?4,x?3?（1）f(x)?|x?1|?|x?3|??2x?2,?1?x?3，

??4,x??1?∴f(x)的最大值为4.

关于x的不等式|x?1|?|x?3|?|m?2|?m有解等价于fmax(x)?4?|m?2|?m， （ⅰ）当m?2时，上述不等式转化为4?m?2?m，解得2?m?3， （ⅱ）当m?2时，上述不等式转化为4??m?2?m，解得m?2， 综上所述，实数m的取值范围为m?3，则实数m的最大值为3，即t?3. （2）证明：根据（1）求解知t?3，所以a?b?c?t?3，

b2c2a2又∵a?0，b?0，c?0，ab?bc?ca?3abc????3，

abc333b2c2a2b2c2a2???(a?b?c)??a??b??c abcabc第 21 页 共 22 页

b2c2a2 ?2?a?2?b?2?c?2(a?b?c)，当且仅当a?b?c时，等号成立，

abcb2c2a2b2c2a2即???a?b?c，∴???3， abcabc所以，a3b?b3c?c3a?3abc. 【点睛】

本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.

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