2015高考数学易错点查漏补缺（二）

2015高考数学易错点查漏补缺（二）

易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域 【问题】: 求函数y?log0.5(4?3x?x2)的增区间。

2错解一：∵外层函数为减函数，内层函数u?4?3x?x减区间为[,??)，∴原函数增区间

32为[,??)。

剖析：基础不牢，忽视定义域问题

22错解二：∵4?3x?x?0，函数定义域为??1,4?，又内层函数u?4?3x?x在 (?1,]为

3232增函数，在[,??)为减函数，∴原函数增区间为(?1,]。 剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。 正确答案：[,4)

反思：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。

易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

【问题】: 函数f(x)?(m?1)x2?2(m?1)x?1的图象与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围。

错解：由??0解得m?0或m??3

剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑m?1?0的情况。 正确答案：??3,0,1?

反思：在二次型函数y?ax2?bx?c中，当a?0时为二次函数，其图象为抛物线；当

323232

a?0,b?0时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意x2项的系数是否

为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：

ax2?bx?c?0解集为R?a?0,??0或a=b=0,c>0 ax2?bx?c?0解集为??a?0,??0或a=b=0,c?0

易错点13 用函数图象解题时作图不准

【问题】: 求函数f(x)?x的图象与直线f(x)?2的交点个数。 错解：两个

剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。

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2x 正确答案：三个 反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。 易错点14 忽视转化的等价性

【问题】1: 已知方程mx?3x?1?0有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。

错解：∵方程mx?3x?1?0有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数y?mx2?3x?1的图象与x轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴f(0)f(1)?0，解得m?2 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到f(1)?0的情况。 正确答案：m????,2?

【问题】2:函数y?e|lnx|?|x?1|的图象大致是（ ）

22

剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。

②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。 正确答案：D

反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。 易错点15 分段函数问题

??2?a?x?1x?1【问题】1:.已知f(x)??是R上的增函数，求a的取值范围。 ?xx?1??a错解：(1,2)

剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视f(x)在分界点附近函数值大小关系。 正确答案：?,2)

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?2【问题】2:设函数f(x)??x?bx?c,x?0,x?0,若f(?4)?f(0),f(?2)??2，求关于x的方程

x?0.?2,f(x)?x解的个数。

错解：两个

剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程

f(x)?x分两种情况来解。

正确答案：三个

反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。 易错点16 函数零点定理使用不当

【问题】若函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在（-2,2）内有一个零

点，则f(?2)?f(2)的值 （ ）

A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能确定 错解：由函数零点存在定理知f(?2)?f(2)?0，故选B

剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数f(x)在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(?2)?f(2)?0，否则f(?2)?f(2)?0 正确答案：D

反思：函数零点定理是指如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)?0，那么函数f(x)在区间(a,b)内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 易错点17 混淆两类切线的概念

【问题】: 若直线y = kx与曲线y?x?3x?2x相切试求k的值。（提示y=kx即过原点的切线）

2错解：?y??3x?6x?2，∴斜率k?2，

32剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。 正确答案：k?2或k??1 4反思：曲线在点P处的切线”P为切点且P在曲线上，而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上。

易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系

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【问题】:函数f(x)?x3?ax2?bx?a2在x=1处有极值10，求a,b的值。 错解：由f(1)?10,f?(1)?0解得a?4,b??11或a??3,b?3

剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把f(x0)为极值的必要条件当作充要条件。

正确答案：a=4,b=-11

反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是f?(x0)?0且f?(x)在x0两侧异号。。 易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

【问题】:若函数f(x)?ax3?x在R上为减函数，求实数a的取值范围。 错解：由f?(x)=3ax2?1?0在R上恒成立，∴?错误！未找到引用源。

剖析：概念模糊，错把f(x)在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上a?0时满足题意。 正确答案：a?0

反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。

易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.

错解：选A,B,D

剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于f?(0)?f?(2)?0，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当x?0和x?2时，f?(x)?0，当0?x?2时，f?(x)?0，所以函

a?0 ，解得a?0

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数f(x)在(??,0)和(2,+?)上为增函数，在(0,2)上为减函数。

正确答案：C

反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。

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