2013年高考数学全国卷1答案与解析 - 图文

二．填空题：本大题共四小题，每小题 5分。

13.已知两个单位向量 a，b的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b，若 b·c=0，则 t=_____. 考点 ： 向量的数量积

解析： = = = = =0，解得 = .

答案： =

14.若数列 { }的前 n 项和为 Sn＝ ，则数列 { }的通项公式是 =______.

考点 ： 等比数列

解析： 当 =1 时， = = ，解得 =1，

当 ≥ 2 时， = = －( )= ，即 = ，

∴{ } 是首项为 1，公比为－ 2 的等比数列，∴

=

= .

答案： 15.设当 x

时，函数

f (x) sin x 2cos x取得最大值，则 cos

______

考点 ： 求三角函数的最值

解析： ∵ = =

令 = ， ，则 = = ，

当 = ，即 = 时， 取最大值，此时 = ，

∴ = = = .

答案： = = =

16.若函数 =

的图像关于直线x 2 对称，则

的最大值是 ______.

考点 ： 图像的性质

5

解析： 由 0= 0= ∴ ∴ =

当 ∈( －∞ , 当 ∈( ∴

= =

图像关于直线 =－2 对称，则

= =

，

= ， ，解得

=8， =15，

) ∪( －2, , －2) ∪ (

) 时， ,+ ∞) 时，

＞0， ＜0，

，－ 2）单调递减，在（－ 2， 和

=

时取极大值，

= ）单

在（－∞， ）单调递增，在（

，+∞）单调递减，故当

=

调递增，在（

=16.

答案： 16

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分 12分）如图，在△ ABC中，∠ ABC＝90°， AB= 3 ，BC=1，P为△ ABC内一点，∠ BPC＝ 90°

1

，求 PA；(2)若∠ APB＝150°，求 tan∠PBA (1)若 PB=

2

考点 ： 余弦定理，正弦定理 解析：（Ⅰ）由已知得，∠ PBC=

，∴∠ PBA=30

o

，在△ PBA中，由余弦定理得 =

= ，∴ PA= ；，

（Ⅱ） 设∠ PBA= ，由已知得， PB= ，在△ PBA中，由正弦定理得，

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，

化简得， ，

∴ = ，∴ = .

18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中， CA=CB， AB=A A. 1，∠ BA A1=60°（Ⅰ）证明 AB⊥A1C;

（Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值。

考点 ：线与线垂直证明，线与面所成角的求法 解析： （Ⅰ）取 AB中点 E，连CE， 结∵AB= ∴ ⊥面

， ⊥AB， ， ∴AB⊥

；

EC⊥AB，

⊥AB，

=AB，∴EC⊥面

，

=

，∴

，

，

是正三角形，

∴CE⊥AB，

∵

=E，∴ AB

∵CA=CB，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 又∵面 ABC⊥面 ∴EC⊥

，

，面 ABC∩面

∴EA，EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， | | 为单位长度，建

立如图所示空间直角坐标系，

有题设知 A(1,0,0), ), 设=

=(0, －

,

(0, ),

,0),C(0,0, ),B( －1,0,0),则=（1,0 ， ）, = =( －1,0,

? ? 9 分

的法向量，

是平面

则 ，即 ，可取 =（ ， 1，-1 ），

7

∴ = ，

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值为 .

19.（ 本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验， 检验方案是： 先从这批产品中任取 4 件作检验， 这 4 件产品中优质品的件数记为

n。如果 n=3，再从这批产品中任取

4 件作检验，若都为优质品，则这批

产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为 相互独立

（1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为

1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情

50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品

100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所

需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望。 考点 ： 求事件发生的概率、期望

解析： 设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中全为优质品为 事件 B, 第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件

C，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件

D，这批产品

通过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB)∪(CD), 且 AB与 CD互斥，

∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .

（Ⅱ） X 的可能取值为 400,500,800 ，并且

P(X=400)=1- = ，P(X=500)= ，P(X=800)= = ，

∴X 的分布列为

X 0 P

40

00

5

00

8

EX=400× +500× +800× =506.25 :

, 圆

:

, 动圆 与

外切并且与

20.(本小题满分 12 分)已知圆 圆

内切，圆心

的轨迹为曲线 C.

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