2020年北京市东城区中考数学一模试卷含答案解析

∴当m≠且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）有求根公式，得：x==，

∴x1=﹣3，x2=﹣，

∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数， ∴m=1，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3； （3）如图，

当x=1时，y=1+4+3=8，

过点Q作y轴的垂线，交抛物线与点M， 根据抛物线的对称性，可得：点M（﹣5，8）， 由图象可知，当y1＞y2时，a＞1，或a＜﹣5．

28．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．

（1）直接写出DE与DF的数量关系；

（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）

（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）结论：DE=DF．如图1中，连接AD，作DN⊥AB，DM⊥AC垂足分别为N、M，只要证明△DNE≌△DMF即可．

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（2）能围成三角形，最大内角为120°．延长FD到M使得DF=DM，连接BM，EM，由△DFC≌△DMB得∠C=∠BMD=60°，BM=CF， 因为DE=DF=DM，∠EDM=180°﹣∠EDF=60°，所以△EDM是等边三角形，由此不难证明．

（3）如图1中，先证明△ADN≌△ADM，再证明AE+AF=2AN，求出AN即可解决问题．

【解答】（1）结论：DE=DF．

证明：如图1中，连接AD，作DN⊥AB，DM⊥AC垂足分别为N、M． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵BD=DC，

∴∠BAD=∠CAD， ∴DN=DM， ∵∠EDF=120°，

∴∠EDF+∠BAC=180°，∠AED+∠AFD=180°， ∵∠AED+∠DEN=180°， ∴∠DFM=∠DEN， 在△DNE和△DMF中，

，

∴△DNE≌△DMF， ∴DE=DF．

（2）能围成三角形，最大内角为120°．

证明：如图2中，延长FD到M使得DF=DM，连接BM，EM． 在△DFC和△DMB中，

，

∴△DFC≌△DMB，

∴∠C=∠MBD=60°，BM=CF，

∵DE=DF=DM，∠EDM=180°﹣∠EDF=60°， ∴△EDM是等边三角形， ∴EM=DE，

∴EB、ED、CF能围成△EBM，

最大内角∠EBM=∠EBC+∠DBM=60°+60°=120°． （3）如图1中，在△ADN和△ADM中，

，

∴△ADN≌△ADM， ∴AN=AM，

∴AE+AF=AN﹣EN+AM+MF， 由（1）可知EN=MF． ∴AE+AF=2AN，

∵BD=DC=，在RT△BDN中，∵∠BDN=30°，

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∴BN=BD=， ∴AN=AB﹣BN=， ∴AE+AF=．

29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线． （1）当⊙O的半径为1时，

①分别判断在点D（，），E（0，﹣

），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有 D或E ；

②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；

③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围； （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣

N，与x轴，y轴分别交于点M，

若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

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【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2=PC2﹣1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断． （2）求出直线y=﹣x+3与坐标轴的交点坐标分别为（0，3）和（3，0），根据（1）问中结论可知，P的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；

（3）根据（1）问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围． 【解答】解：（1）由定义可知， 当点P在⊙C内时，

由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点， 此时，0≤PC＜1； 当点P在⊙C外时， 设点A是PB的中点， 连接PC交⊙C于点M， 延长PC交⊙C于点N， 连接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°， ∠B+∠NMA=180°， ∴∠AMP=∠B， ∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP， ∴

=

，

∴PA?PB=PM?PN， ∵点A是PB的中点， ∴AB=PA，

又∵⊙C的半径为1， ∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN）， ∴2AB2=PC2﹣1， 又∵AB是⊙C的弦，

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