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2020年北京市东城区中考数学一模试卷含答案解析

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  • 2025/7/10 0:29:20

∴当m≠且m≠0时,方程有两个不相等的实数根;

(2)有求根公式,得:x==,

∴x1=﹣3,x2=﹣,

∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数,且m为正整数, ∴m=1,

∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3; (3)如图,

当x=1时,y=1+4+3=8,

过点Q作y轴的垂线,交抛物线与点M, 根据抛物线的对称性,可得:点M(﹣5,8), 由图象可知,当y1>y2时,a>1,或a<﹣5.

28.如图,等边△ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB,AC边上,且∠EDF=120°.

(1)直接写出DE与DF的数量关系;

(2)若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出思路,画出图形,直接给出结果即可)

(3)思考:AE+AF的长是否为定值?如果是,请求出该值,如果不是,请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】(1)结论:DE=DF.如图1中,连接AD,作DN⊥AB,DM⊥AC垂足分别为N、M,只要证明△DNE≌△DMF即可.

第21页(共28页)

(2)能围成三角形,最大内角为120°.延长FD到M使得DF=DM,连接BM,EM,由△DFC≌△DMB得∠C=∠BMD=60°,BM=CF, 因为DE=DF=DM,∠EDM=180°﹣∠EDF=60°,所以△EDM是等边三角形,由此不难证明.

(3)如图1中,先证明△ADN≌△ADM,再证明AE+AF=2AN,求出AN即可解决问题.

【解答】(1)结论:DE=DF.

证明:如图1中,连接AD,作DN⊥AB,DM⊥AC垂足分别为N、M. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°,AB=AC, ∵BD=DC,

∴∠BAD=∠CAD, ∴DN=DM, ∵∠EDF=120°,

∴∠EDF+∠BAC=180°,∠AED+∠AFD=180°, ∵∠AED+∠DEN=180°, ∴∠DFM=∠DEN, 在△DNE和△DMF中,

∴△DNE≌△DMF, ∴DE=DF.

(2)能围成三角形,最大内角为120°.

证明:如图2中,延长FD到M使得DF=DM,连接BM,EM. 在△DFC和△DMB中,

∴△DFC≌△DMB,

∴∠C=∠MBD=60°,BM=CF,

∵DE=DF=DM,∠EDM=180°﹣∠EDF=60°, ∴△EDM是等边三角形, ∴EM=DE,

∴EB、ED、CF能围成△EBM,

最大内角∠EBM=∠EBC+∠DBM=60°+60°=120°. (3)如图1中,在△ADN和△ADM中,

∴△ADN≌△ADM, ∴AN=AM,

∴AE+AF=AN﹣EN+AM+MF, 由(1)可知EN=MF. ∴AE+AF=2AN,

∵BD=DC=,在RT△BDN中,∵∠BDN=30°,

第22页(共28页)

∴BN=BD=, ∴AN=AB﹣BN=, ∴AE+AF=.

29.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A,B两点,在P,A,B三点中,位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时,则称点P为⊙C 的相邻点,直线l为⊙C关于点P的相邻线. (1)当⊙O的半径为1时,

①分别判断在点D(,),E(0,﹣

),F(4,0)中,是⊙O的相邻点有 D或E ;

②请从①中的答案中,任选一个相邻点,在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程;

③点P在直线y=﹣x+3上,若点P为⊙O的相邻点,求点P横坐标的取值范围; (2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=﹣

N,与x轴,y轴分别交于点M,

若线段MN上存在⊙C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

第23页(共28页)

【考点】圆的综合题. 【分析】(1)由相邻点的定义可知:在圆C内的点必为相邻点,在圆C外的点必须满足,2AB2=PC2﹣1,其中A为PB的中点,且AB≤2,所以若半径为1的圆C有相邻点P,则PC的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1,分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断. (2)求出直线y=﹣x+3与坐标轴的交点坐标分别为(0,3)和(3,0),根据(1)问中结论可知,P的横坐标的取值范围是:0≤x≤3;

(3)根据(1)问中可知:0≤PC≤3且PC≠1,又因为点P在线段MN上移动,所以点C在以点P为圆心,半径为3的圆内,且不能在以点P为圆心,半径为1的圆上,再根据点C在x轴上,即可得出C的横坐标取值范围. 【解答】解:(1)由定义可知, 当点P在⊙C内时,

由垂径定理可知,点P必为⊙C的相邻点, 此时,0≤PC<1; 当点P在⊙C外时, 设点A是PB的中点, 连接PC交⊙C于点M, 延长PC交⊙C于点N, 连接AM,BN,

∵∠AMP+∠NMA=180°, ∠B+∠NMA=180°, ∴∠AMP=∠B, ∵∠P=∠P,

∴△AMP∽△NBP, ∴

=

∴PA?PB=PM?PN, ∵点A是PB的中点, ∴AB=PA,

又∵⊙C的半径为1, ∴2AB2=(PC﹣CM)(PC+CN), ∴2AB2=PC2﹣1, 又∵AB是⊙C的弦,

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∴当m≠且m≠0时,方程有两个不相等的实数根; (2)有求根公式,得:x==, ∴x1=﹣3,x2=﹣, ∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数,且m为正整数, ∴m=1, ∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3; (3)如图, 当x=1时,y=1+4+3=8, 过点Q作y轴的垂线,交抛物线与点M, 根据抛物线的对称性,可得:点M(﹣5,8), 由图象可知,当y1>y2时,a>1,或a<﹣5. 28.如图,等边△ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB,AC边上,且∠EDF=120°. (1)直接写出DE与DF的数量关系; (2)若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出思路,

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