4.5-隐函数微分法

高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

第五节 隐函数微分法

教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论；

(2) 会求隐函数的导数和偏导数。

教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时

一、一个方程的情形

1.F(x,y)?0

定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数Fx(x,y),Fy(x,y)， ②F(x0,y0)?0， ③Fy(x0,y0)?0，

则方程F(x,y)?0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数y?f(x)，它满足条件y0?f(x0)，并有

dyF隐函数的求导公式 （1） ??x. dxFy说明：

1）定理的条件是充分的，如方程y3?x3?0在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y?x

2）若③换成Fx(x0,y0)?0，则确定隐函数x?x(y),在点(x0,y0)可导, 且

Fydx??. dyFx定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：

设方程F(x,y)?0在点P(x0,y0)的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数

y?f(x)，则有恒等式 F(x,f(x))?0,

两边对x求导，得 Fx?FydyFdy??x。 ?0,由Fy(x0,y0)?0，得

dxdxFy22例１验证方程x?y?1?0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且x?0

1

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时y?1的隐函数y?f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x?0的值.

解：令F(x,y)?x2?y2?1，则 Fx?2x,Fy?2y,F(0,1)?0,Fy(0,1)?2?0, 依定理知方程x2?y2?1?0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x?0时

y?1的函数y?f(x)．函数的一阶和二阶导数为

Fdyxdy??x ??, ?0,

ydxFydxx?0??y?x??2dyy?xy??????22dxyy2例2 已知lnx?y?arctan22x??y??d2y1??3,

dx2y??1.

x?0dyy，求. xdxy22解：令F(x,y)?lnx?y?arctan, 则

xFx(x,y)?x?yy?x,F(x,y)?, y2222x?yx?y所以

Fdyx?y. ??x ??y?xdxFy2.F(x,y,z)?0

定理5.2（隐函数存在定理2） 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数， ②F(x0,y0,z0)?0， ③Fz(x0,y0,z0)?0，

则方程F(x,y,z)?0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z?f(x,y)，它满足条件z0?f(x0,y0)，并有

F?zF?z??x， ??y. ?xFz?yFz定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.

?2z例3 设x?y?z?4z?0，求2.

?x222解：令F(x,y,z)?x?y?z?4z,则Fx?2x, Fz?2z?4,

2

222高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

?zF?zx??x?, 2??x?xFz2?z2(2?z)?x?zx(2?z)?x?22?x?2?z ?(2?z)?x.

(2?z)2(2?z)2(2?z)3?z?x?y，，. ?x?y?z例4 设z?f(x?y?z,xyz)，求

思路：把z看成x,y的函数对x求偏导数得

?z，把z看成x,y的函数对x求偏导数得?x?z?y，把y看成x,z的函数对z求偏导数得. ?x?z解：令u?x?y?z, v?xyz, 则z?f(u,v), 把z看成x,y的函数对x求偏导数得

整理得

?z?z?z?fu?(1?)?fv?(yz?xy),

?x?x?x?zf?yzfv?u,把x看成z,y的函数对y求偏导数得 ?x1?fu?xyfv0?fu?(?x?x?1)?fv?(xz?yz),

?y?y整理得

f?xzfv?x ??u, ?yfu?yzfv?y?y?1)?fv?(xy?xz), ?z?z把y看成x,z的函数对z求偏导数得 1?fu?(整理得

?y1?fu?xyfv?. ?zfu?xzfv二、方程组的情形

?F(x,y,z)?0 1.?G(x,y,z)?0?为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi）行列式：

?(F,G)Fx??(x,y)GxFxFy?(F,G,H)， ?GxGy?(x,y,z)HxFyGyHyFzGz Hz定理5.3（隐函数存在定理3） 设F(x,y,z)、G(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内满足：

①具有对各个变量的一阶连续偏导数，

②F(x0,y0,z0)?0，G(x0,y0,z0)?0

3

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③

?(F,G)?0，

?(x,y)(x0,y0,z0)?F(x,y,z)?0则方程组 ?在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有

G(x,y,z)?0??y?y(x)连续偏导数的函数?，它们满足条件y0?y(x0),z0?z(x0)，并有

?z?z(x)?(F,G)dy?(x,z)?????(F,G)dx?(y,z)?F(x,y,u,v)?02. ?

G(x,y,u,v)?0?FxGxFyGyFzGz?(F,G)?(y,x)dz, ?????(F,G)Fzdx?(y,z)GzFyGyFyGyFxGxFzGz.

定理5.4（隐函数存在定理4） 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内满足：

①具有对各个变量的一阶连续偏导数，

②F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0 ③

?(F,G)?0，

?(u,v)(x0,y0,u0,v0)?F(x,y,u,v)?0则方程组?在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且

?G(x,y,u,v)?0?u?u(x,y)具有连续偏导数的函数?，它们满足条件u0?u(x0,y0),v0?v(x0,y0)，并有

v?v(x,y)??u1?(F,G)?v1?(F,G)??, ??， ?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)??, ??. ?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）

?F(x,y,u,v)?0?u?u(x,y)设方程组?有隐函数组?,则

G(x,y,u,v)?0v?v(x,y)???F(x,y,u(x,y),v(x,y))?0 ?G(x,y,u(x,y),v(x,y))?0?4