高2019届高2016级名师导学二轮总复习全攻略理科数学试题学案专题十

能迅速得到答案.

(五)数形结合法

所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来,通过“以形助数”、“以数辅形”,使抽象思维与形象思维相结合,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题.

例9[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a,其中a＜1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0,则a的取值范围是( )

333－，1? B.?－，? A.??2e??2e4?33?3

， D.?，1? C.??2e4??2e?【解析】选D.

设g(x)＝ex(2x－1),y＝ax－a,

由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方, 因为g′(x)＝ex(2x＋1),

1

所以当x＜－时,g′(x)＜0,

21

当x＞－时,g′(x)＞0,

2

11

所以当x＝－时,[g(x)]min＝－2e－.

22

作出大致图象如图所示,当x＝0时,g(0)＝－1,g(1)＝e＞0,

直线y＝ax－a恒过(1,0),斜率为a,

3－

故－a＞g(0)＝－1,且g(－1)＝－3e1≥－a－a,解得≤a＜1.故选D.

2e

2

?x－x＋3，x≤1，例10[2017·天津卷]已知函数f(x)＝?

?

2

x＋??x，x>1.

设a∈R,若关于x的不等式

x?f(x)≥??2＋a?在R上恒成立,则a的取值范围是( )

474739

－，2? B.?－，? A.??16??1616?

39

－23，? C.[－23,2] D.?16??

【解析】选A.

根据题意,作出f(x)的大致图象,如图所示,

xxx

＋a?恒成立,结合图象,只需x2－x＋3≥－?＋a?,即x2－＋3＋当x≤1时,若要f(x)≥??2??2?2

1?2x47?a≥0,故对于方程x－＋3＋a＝0,Δ＝?－2?－4(3＋a)≤0,解得a≥－；当x＞1时,若要

216

x2xx2x2x2

＋a?恒成立,结合图象,只需x＋≥＋a,即＋≥a,又＋≥2,当且仅当＝,即xf(x)≥??2?x22x2x2x

47

－，2?.选A. ＝2时等号成立,所以a≤2,综上,a的取值范围是??16?

→→→→→

例11已知OB＝(2,0),OC＝(2,2),CA＝(2cos α,2sin α)则向量OA与OB夹角的取值范围是________________.

π5π【解析】?，?

?1212?→→

∵OC＝(2,2),OB＝(2,0),∴B(2,0),C(2,2), →

∵CA＝(2cos α,2sin α),

∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心,2为半径的圆.

过原点O作此圆的切线,切点分别为M,N,连结CM、CN,如图所示,

2

→→→→

则向量OA与OB的夹角范围是∠MOB≤〈OA,OB〉≤∠NOB. →→→1→∵|OC|＝22,∴|CM|＝|CN|＝|OC|,

2

知∠COM＝∠CON＝,但∠COB＝,

64

π5ππ5π→→

∴∠MOB＝,∠NOB＝,故≤〈OA,OB〉≤.

12121212

【点评】数形结合大致有以下两条途径:

(1)以数解形:通过对数量关系的讨论,去研究曲线的几何性质,这种思想在解析几何中最常见；

(2)以形助数:一些具有几何背景的数学关系或数学结构,如果能通过构造与之相应的图形进行分析,则能使问题获得更直观的解法,这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有所体现,特别是在求方程解的个数,解不等式,求最值等问题中的应用更常见.

(3)“数”与“形”是数学的重要基石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以互相转化,如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一,就能够使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,进而简化解题过程,从而达到事半功倍的效果.

(六)构造法

所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已知条件中的元素为“元件”,用已知的数学关系为“支架”,在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设置一个框架,从而使问题转化并得到解决的方法.

例12[2015·全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x＞0时,xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )

A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞) C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞) 【解析】选A.

ππf（x）

构造函数g(x)＝,

x

xf′（x）－f（x）

则g′(x)＝,

x2

当x＞0时,总有xf′(x)－f(x)＜0, 即当x＞0时,g′(x)恒小于0, ∴当x＞0时,函数g(x)为减函数,

又∵g(－x)＝g(x),∴g(x)为定义域上的偶函数,

f（－1）

又∵g(－1)＝＝0,

－1

∴g(x)的图象类似如图:

数形结合可得,不等式f(x)＞0?xg(x)＞0 ???x>0?x<0??或?, ?g（x）>0??g（x）<0?

?0＜x＜1或x＜－1. 故选A.

例13如图,已知球O的球面上有四个点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA＝AB＝BC＝2,则球O的体积等于________.

【解析】6π

如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,

4πR36所以|CD|＝（2）＋（2）＋（2）＝2R,所以R＝,故球O的体积V＝＝23

6π.

【小结】构造法是一种创造性思维,是综合运用各种知识和方法,依据问题给出的条件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理,构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法.

2

2

2

第25讲 高考数学解答题的破解策略

一、题型特点

解答题是数学高考题的优良传统题型,包括计算题、证明题、应用题等等,约占总分的47%左右.解答题的功能侧重知识的综合运用和能力测试,是对考生知识掌握、分析推理、综合应用能力的全面检验.

二、解题思路

要完成高考数学解答题的解答,必须把握好以下各个环节: 1.审题——捕捉“题眼”

审题是解题的开始,也是解题的基础.审题思考中,要把握“三性”,即明确目的性,提高准确性,注意隐含性.审题的技巧:①学会寻找题眼；②学会从问入手(如已知是什么？求解是什么？)；③学会抓住问题中的数量特征；④ 学会挖掘隐含条件.

2.优化——思维策略

常用的思维策略有:陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；一般问题特殊化；抽象问题具体化等.

3.选择——解题方法

常见的解题方法:分析、综合、联想、类比、归纳、演绎、反证、化归等. 4.突出——通性通法

(1)突出数学思想:函数方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；等价转化思想； (2)联想常规方法:代入法、配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法等. 5.规范——书面表达

力求表述准确,不使用不规范的语言.避免字迹不工整而造成的隐性失分. 三、解题策略 (一)语言转换策略

每个数学命题都是由一些特定的数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)所组成,数学解题活动过程,实际上是数学语言的转换过程,通过语言转换过程,理解题意,确定解题方案.

π

例1函数f(x)＝cos(πx＋φ)?0<φ

2??

(1)求φ及图中x0的值；

111

x＋?,求函数g(x)在区间?－，?上的最大值和最小值. (2)设g(x)＝f(x)＋f??3??23?33

【解析】(1)由题图得f(0)＝,所以cos φ＝, 22因为0＜φ＜,故φ＝.

26

7ππ13π由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1＜x0＜2,故＜πx0＋＜,

666

π11ππ335

由f(x0)＝得cos?πx0＋?＝,所以πx0＋＝,x0＝.

26636?2?

ππ