高2019届高2016级名师导学二轮总复习全攻略理科数学试题学案专题十

(这是边文,请据需要手工删加) 名师导学·高考二轮总复习·理科数学 (这是边文,请据需要手工删加)

专题十 解题方法与策略 (这是边文,请据需要手工删加)

专 题 十

解题方法与策略

第24讲 数学选填题的解题方法与技巧

一、题型特点

近几年来,在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题,填空题一直是4道题,所占分值为80分,约占数学试题总分数的53%.且在高考题中属于中低难度的试题,仅有个别题属于较高难度试题,在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列,在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果,不要求写出解答过程的试题.具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广,其中融入多种数学思想和方法等特点,可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题和解决问题的能力.

二、解题步骤

(1)仔细审题、吃透题意

审题是正确解题的前提,关键在于将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中反应,并发现题目中的一些重要的隐含条件.

(2)反复析题、去伪存真

析题就是剖析题意.在认真审题的基础上,对全题进行细致的分析,为正确解题寻好路径.由于选择支相近、相关,因而在析题时对照选择支就显得非常重要,对于一些似是而非的选项,考生可以结合题目条件,加以分析与验证,提高选择的正确率.

(3)抓住关键、全面分析

通过审题、析题后找到解题的关键步骤,从关键处入手,快速地形成正确的解题思路,化难为易、化繁为简.高考选择题中的多数可用特殊的方法快速解答.例如:顺推破解法、逆推验证法、估值选择法、特值检验法、数形结合法、极限化法等都是解选择题常用的解法.

(4)反复检查、认真核对

对得出的结果细心检查、认真核对也是解选填题必不可少的一个步骤.

由于客观题解答轻过程重结果,因此,平时必须多训练一些解选填题的方法与技巧,力争做到求解题准确、迅速,其基本原则是“小题不能大作”,基本策略是“巧做”.

三、解题方法与技巧 (一)直接演绎法

所谓直接演绎法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果.

例1[2018·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )

3323323A. B. C. D. 4342【解析】选A.

记该正方体为ABCD－A′B′C′D′,正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,即共点的三条棱A′A,A′B′,A′D′与平面α所成的角都相等,如图,

连接AB′,AD′,B′D′,因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥,所以A′A,A′B′,A′D′与平面AB′D′所成的角都相等,分别取C′D′,B′C′,BB′,AB,AD,DD′的中点E,F,G,H,I,J,连接EF,FG,GH,IH,IJ,JE,易得E,F,G,H,I,J六点共面,平面EFGHIJ与平面

2

AB′D′平行,且截正方体所得截面的面积最大,又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝,所以该正

2

2

333332

六边形的面积为6××??＝,所以α截此正方体所得截面面积的最大值为,故选

4?2?44

A.

例2[2017·江苏]在平面直角坐标系xOy中,A(－12,0),B(0,6),点P在圆O:x2＋y2＝50上.若→→PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.

【解析】[－52,1]

→→

设P(x,y).因为PA·PB≤20,所以(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20,

2222

化简得(x＋6)＋(y－3)≤65.又x＋y＝50,所以12x－6y＋30≤0,

故点P的轨迹为劣弧CE,由图可知,点P的横坐标的取值范围为[xD,xC].

?2x－y＋5＝0，联立?22消去y,得x2＋4x－5＝0,解得x＝－5或x＝1,即xC＝1,

?x＋y＝50，

又因为xD＝－52,所以点P的横坐标的取值范围是[－52,1]. 【小结】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法,涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目,充分挖掘题设条件,通过严谨的推理,正确的运算必能得出正确的答案.因此,学会熟练运用基本知识,并能迅速分析题目,抓住主干,吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝.

(二)特例(值)法

所谓特例(值)法,就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解,从而得出正确答案.

例3已知钝角△ABC中,∠C为钝角,若m＝sin A＋sin B,n＝cos A＋cos B,p＝sin(A＋B),则m、 n、p的大小关系是( )

A.m＜n＜p B.n＜m＜p C.p＜m＜n D.m＜p＜n 【解析】选C.

3

方法一:在△ABC中,令A＝B＝30°,C＝120°,可求得m＝1, n＝3,p＝,显然有p＜

2

m＜n.

方法二:由已知得,A＜－B,则sin A＜sin?－B?＝cos B,即sin A＜cos B,同理sin B＜

2?2?

cos A,所以sin A＋sin B＜cos A＋cos B,

即m＜n；p＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＜sin A＋sin B＝m.

【点评】本小题主要考查了三角函数的大小比较问题,在解决这类问题时,如果能够从选项提供的信息中确定这些代数式的大小关系是唯一确定的,那么就可以采用特例检验法进行求解,即将代数式中的参数赋以特殊的、有利于计算的值(本题中是特殊角),代入代数式中求出它们的值,进行比较,从而确定它们的大小关系.

x2y2

例4设P是椭圆＋＝1上异于长轴端点的一动点,F1、F2是椭圆的焦点,I是△PF1F2

2516

的内心,PI的延长线交F1F2于点B,则│PI│∶│IB│＝________.

5

【解析】 3

令P是椭圆短轴的一端点,在△F1BP中,由三角形内角平分线定理知,│PI│∶│IB│＝|PF1|∶│F1B│＝|PF2|∶|F2B|＝(|PF1|＋|PF2|)∶(|F1B|＋|F2B|)＝5∶3.

【点评】P是椭圆上的一动点,又由选项知道,│PI│∶│IB│的值确定,因此当P是椭圆短轴端点时(特殊化),结论不变.

【小结】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法之一,能降低解题难度,提高解题效率.当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究,从而清晰、快捷地得到正确答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律.

(三)排除法

例5过抛物线y2＝4x的焦点作直线,与此抛物线相交于两点P和Q,那么线段PQ中点的轨迹方程是( )

A.y2＝2x－1 B.y2＝2x－2

C.y2＝－2x＋1 D.y2＝－2x＋2 【解析】选B.

(排除法)由已知可知轨迹曲线过点(1,0),开口向右,由此排除答案A、C、D.

?y＝kx－k，

另解:(直接法)设过焦点的直线y＝k(x－1),则?2消y得:k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝

?y＝4x，

x1＋x2k2＋2x＝＝2，

2k

0,故中点坐标为消k得y2＝2x－2,选B. 2

k＋22y＝k?2－1?＝，?k?k

例6已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),设P4的坐标为(x4,0),若1＜x4＜2,则tan θ的取值范围是( )

1?12，1 B.?，? A.??3??33?ππ?

??

21?22， D.?，? C.??52??53?【解析】选C

1

考虑由P0射到BC的中点上,这样依次反射最终回到P0,此时容易求出tan θ＝,由题设

2

1

条件知,1＜x4＜2,则tan θ≠,排除A、B、D,故选C.

2

【点评】排除法也称筛选法(或淘汰法),结合估算、特例、逻辑分析等方法否定三个选项,从而得到正确的选项.

排除法适用于不易直接求解的选择题,当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定,再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾,这样逐步排除,直到得到正确的选项,它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用而有效的方法.

(四)极限化法

在一些选择填空题中,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行计算,以此来判断结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法.

x2y2

例7P为双曲线2－2＝1(a＞0,b＞0)的右支上的一点,F1,F2分别是左、右焦点,则△PF1F2

ab

的内切圆圆心的横坐标为( )

A.a B.b

C.a2＋b2

D.a＋b－a2＋b2 【解析】选A.

如图,点P沿双曲线向右顶点无限接近时,△PF1F2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为右顶点,则内切圆圆心的横坐标为a.故选A.

例8[2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠A＝∠B＝∠C＝75°,BC＝2,则AB的取值范围是__________.

【解析】(6－2,6＋2)

如图,作△PBC,使∠B＝∠C＝75°,BC＝2,

作直线AD分别交线段PB、PC于A、D(不与端点重合),且使∠BAD＝75°,

则四边形ABCD就是符合题意的四边形.将AD在该等腰△PBC内平行移动,平移AD,当点C与点D重合时,AB最短,此时,求得AB＝6－2；

当点A与点D重合时,AB最长,此时求得AB＝6＋2, 所以AB的取值范围是(6－2,6＋2). 【小结】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法,也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径.它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于缩小做题难度,简化运算,