4-6数论教案

因此

nlogpn ? pn，

logn ? loglogpn ? logpn， logn ? logpn。

由上式与式(2)得pn ? nlogn（n??）。证毕。

n例1 若a > 1，a ? 1是素数，则a = 2，并且n是素数。 解 若a > 2，则由

an ? 1 = (a ? 1)(an ? 1 ? an ? 2 ? ? ? 1)

n可知a ? 1是合数。所以a = 2。

若n是合数，则n = xy，x > 1，y > 1，于是由

xyxx(y 1)x(y 2)

2 ? 1 = (2 ? 1)(2? ? 2? ? ? ? 1) xnn以及2 ? 1 > 1可知2 ? 1是合数，所以2 ? 1是素数时，n必是素数。

n注：若n是素数，则称2 ? 1是Mersenne数。 例2 形如4n ? 3的素数有无限多个。

解 若不然，假设只有k个形如4n ? 3的素数p1, p2, ?, pk。记

N = 4p1p?pk – 1。

由第六节引理1，正整数N可以写成若干个素数之积。我们指出，这些素因数中至少有一个是4n ? 3形式。否则，若它们都是4n ? 1的形式，则N也是4n ? 1的形式，这与N的定义矛盾。以p表示这个素因数，则p ? pi，1 ? i ? k。否则若有某个i，1 ? i ? k，使得p = pi，则由p?N推出p?1，这是不可能的。因此在p1, p2, ?, pk之外又存在一个形如4n ? 3的素数p，这与原假设矛盾，所以形如4n ? 3的素数有无限多个。

kk 1

例3 设f(x) = akx ? ak ? 1x? ? ? ? a0是整系数多项式，那么，存在无穷多个正整数n，使得f(n)是合数。

解 不妨假定ak > 0。于是f(x)? ??（x? ??），因此，存在正整数N，使得当n > N时，有f(n) > 1。取整数x > N，记

y = f(x) = akxk ? ak ? 1xk ? 1 ? ? ? a0，

又设r是任意的正整数，n = ry ? x，则

f(n) = f(ry ? x) = ak(ry ? x)k ? ak ? 1(ry ? x)k ? 1 ? ? ? a0 = yQ ? f(x) = y(Q ? 1)

是合数。

习 题 八

1. 证明：若2 ? 1是素数，则n是2的乘幂。

n2. 证明：若2 ? 1是素数，则n是素数。 3. 证明：形如6n ? 5的素数有无限多个。

|d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。 4. 设d 是正整数，6?5. 证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。

?16. 证明：级数?发散，此处使用了定理1注2中的记号。

pn?1n

n 21