九年级数学相似三角形的性质及应用（教师版）知识点+典型例题+详细答案（良心出品必属精品）

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相似三角形的性质及应用 【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】

要点一、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比

∽

，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽

，则

分别作出

与

的高

和，则

S△ABC?A?B?C?S△11BC?ADk?B?C??k?A?D??2?2=k2 11B?C??A?D?B?C??A?D?22

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

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1

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平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】

类型一、相似三角形的性质

1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 【答案】

设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.

(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有

，

从而x=

cm，y=

cm.

(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有

，

从而x=

cm，y=

cm.

(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有

2 .

.

，

从而x=

cm，y=

cm.

cm,

cm或

cm，

cm

综上所述，△DEF的另外两边的长度应是或

cm，

cm三种可能.

2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

【答案】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC，

∴ AD⊥EH，MD=EF.

∵ 矩形两邻边之比为1：2， 设EF=xcm，则EH=2xcm.

由相似三角形对应高的比等于相似比，得∴ ∴ ∴

.

，

，

，

∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴

举一反三

1、如图，在和中，，长是24，面积是48，求的周长和面积. 【答案】在和中，

， 又∵

∽

.

，，的周

. ，相似比为.

3

.

的周长为，的面积是 .

2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且

，

，

∴，

∴.

3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）

A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21

【答案】B.

【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=

,

由△ADE∽△ACB得，

S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.

4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

4 .